Question

17．在光滑的水平面上，有两个带异种电荷的小球A和B，它们在相互之间的静电力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，如图所示．已知小球A的质量为m_A，电荷量是q_A，小球B的质量为m_B，电荷量是q_B，且m_A＞m_B，q_B＞q_A，A、B两球的距离为L，静电力常量为k．则下列判断正确的是（　　）

• A． 小球A做圆周运动的半径r_A=$\frac{{{q_B}L}}{{{q_A}+{q_B}}}$
• B． 小球B做圆周运动的半径r_B=$\frac{{{m_A}L}}{{{m_A}+{m_B}}}$
• C． 小球A做圆周运动的周期T_A=2π$\sqrt{\frac{{{m_A}{m_B}{L^3}}}{{k{q_A}{q_B}（{m_A}+{m_B}）}}}$
• D． 小球B做圆周运动的线速度v_B=$\sqrt{\frac{{k{q_A}{q_B}{m_A}}}{{（{m_A}+{m_B}）{m_B}L}}}$

Answer 1

分析 两球做圆周运动，靠相互的库仑引力提供向心力，抓住角速度相等，结合牛顿第二定律求出小球A、B的轨道半径，从而得出周期和线速度．

解答 解：A、两球靠库仑引力提供向心力，角速度相等，有：$k\frac{{q}_{A}{q}_{B}}{{L}^{2}}={m}_{A}{r}_{A}{ω}^{2}$，$k\frac{{q}_{A}{q}_{B}}{{L}^{2}}={m}_{B}{r}_{B}{ω}^{2}$，
则m_Ar_A=m_Br_B，又r_A+r_B=L，
解得${r}_{A}=\frac{{m}_{B}L}{{m}_{A}+{m}_{B}}$，${r}_{B}=\frac{{m}_{A}L}{{m}_{A}+{m}_{B}}$，故A错误，B正确．
C、根据$k\frac{{q}_{A}{q}_{B}}{{L}^{2}}={m}_{A}{r}_{A}{ω}^{2}$=${m}_{A}{r}_{A}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{A}}^{2}}$得，T_A=$2π\sqrt{\frac{{m}_{A}{m}_{B}{L}^{3}}{k{q}_{A}{q}_{B}（{m}_{A}+{m}_{B}）}}$，故C正确．
D、小球B做圆周运动的线速度${v}_{B}={r}_{B}ω=\frac{{m}_{A}L}{{m}_{A}+{m}_{B}}\sqrt{\frac{k{q}_{A}{q}_{B}（{m}_{A}+{m}_{B）}}{{m}_{A}{m}_{B}{L}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{k{q}_{A}{q}_{B}{m}_{A}}{（{m}_{A}+{m}_{B}）{m}_{B}L}}$，故D正确．
故选：BCD．

点评 解决本题的关键知道两球做圆周运动向心力的来源，抓住角速度相等，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．