Question

13．如图所示，在第一象限存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在第二象限有两块平行金属板M、N组成的加速电场，板间的电压为U．一电荷量为+q、质量为m的带电粒子，靠近M板由静止释放，经N板小孔沿x轴正方向飞出，经过y轴上y=h处的点P₁进入匀强电场，然后，在经过x轴上P₂点进入第四象限时其速度与x轴正方向的夹角θ=53°，不计粒子的重力，已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：
（1）粒子刚射入第一象限的匀强电场时的速度v₁；
（2）第一象限匀强电场强度E；
（3）如果在第四象限存在的匀强磁场是在半径为r的圆形区域内，与x轴相切于P₂点，方向垂直xy平面，如图所示，其它条件不变．要保证上述粒子在圆形匀强磁场中经过一段圆弧最终垂直于y轴飞出，求圆形磁场的磁感应强度B的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）粒子刚射入第一象限的匀强电场时的速度是由电场加速获得的，根据动能定理求解．
（2）带电粒子进入第一象限的电场做类平抛运动，根据运动的分解法求解电场强度E．
（3）带电粒子进入第四象限的磁场后做匀速圆周运动，画出运动轨迹，由几何知识求解轨迹的半径，即可由牛顿第二定律求解B的大小，由左手定则判断B的方向．

解答 解：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理得：
  qU=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）设经P₂点时速度为v₂，带电粒子做类平抛运动，根据速度的分解可得：
   v₂cos53°=v₁
由动能定理得：qEh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立解得：E=$\frac{16U}{9h}$
或可这样求解：
设经P₂点时速度为v₂和此时沿y轴负方向分速度为v_y，带电粒子做类平抛运动
 v_y=v₁tan53°
 v_y²=2ah
根据牛顿第二定律得：qE=ma
联立得：E=$\frac{16U}{9h}$
（3）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，D为圆心．可以证明，四边形P₂CP₃D是菱形
所以粒子做圆周运动的半径r₁=r
由牛顿第二定律得：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{1}}$
联立解得：B=$\frac{5\sqrt{2qUm}}{3qr}$
由左手定则判断知方向垂直xy平面（或纸面）向外．

答：
（1）粒子刚射入第一象限的匀强电场时的速度v₁为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）第一象限匀强电场强度E是$\frac{16U}{9h}$．
（3）圆形磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{5\sqrt{2qUm}}{3qr}$，方向垂直xy平面（或纸面）向外．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的类型，关键是画出带电粒子在磁场中圆周运动的轨迹，运用几何知识求半径．