Question

12．如图所示，M₁N₁N₂M₂是位于光滑水平桌面上的刚性U型金属导轨，导轨中接有阻值为R的电阻，它们的质量为m，导轨的两条轨道间的距离为l，PQ是质量也为m的金属杆，可在轨道上滑动，滑动时保持与轨道垂直，杆与轨道的动摩擦因数为μ，杆与导轨的电阻均不计．杆PQ位于图中的虚线处，虚线的右侧为一匀强磁场区域，磁场方向垂直于桌面，磁感应强度的大小为B．已知导轨的N₁N₂部分离图中虚线的距离为S=$\frac{v_0^2}{μg}$．现有一位于导轨平面内的与轨道平行的外力作用于PQ上，使之在轨道上以v₀的速度向右作匀速运动．设经过t时间导轨的N₁N₂部分运动到图中的虚线部分；在导轨的N₁N₂部分运动到图中的虚线部分的过程中，外力所做的功为W，则有（　　）

• A． t=$\frac{v_0}{μg}$
• B． t=$\frac{{3{v_0}}}{2μg}$
• C． W=mv₀²+$\frac{{3{B^2}{l^2}v_0^3}}{2μgR}$
• D． W=mv₀²+$\frac{{3{B^2}{l^2}v_0^3}}{μgR}$

Answer 1

分析 当金属杆在外力F的作用下匀速运动时，由于导轨受到PQ的摩擦力而向右做匀加速直线运动，而题目要求导轨加速运动一段距离S时的时间以及外力做功的问题．这个连接体涉及到电磁感应且两个物体运动状态不同，所以用隔离法是不可避免的．分别把两个物体进行受力分析，运用动力学内容从已知情况入手解决问题．至于外力做的功可以由功能关系或功的公式直接求解．

解答 解：对导轨，受到PQ对其摩擦力μmg，做匀加速直线运动，由牛顿第二定律求其加速度$a=\frac{μmg}{m}=μg$．当其加速到速度v₀的位移$x=\frac{{v}_{0}2}{2a}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$$＜S=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$，说明导轨还未到虚线处已经与PQ共同以v₀速度运动，一起匀速到虚线处，导轨加速时间${t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{{v}_{0}}{μg}$  一起匀速的时间：${t}_{2}=\frac{S-x}{{v}_{0}}=\frac{\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}}{{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$，所以到达虚线处的总时间$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{3{v}_{0}}{2μg}$，所以A选项错误，B选项正确． 
另外PQ切割磁感线产生的感应电动势：E=Blv，电阻R中的电流$I=\frac{E}{R}=\frac{Bl{v}_{0}}{R}$，在这段时间t内产生的焦耳${Q}_{1}={I}^{2}Rt=（\frac{Bl{v}_{0}}{R}）^{2}×R×\frac{3{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$，又因为在这段时间内PQ在导轨上滑动的距离：${x}_{2}={v}_{0}t={v}_{0}\frac{3{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{3{{v}_{0}}^{2}}{2μg}$，导轨滑动的距离：${x}_{1}=x+{v}_{0}{t}_{2}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}+{v}_{0}\frac{{v}_{0}}{2μg}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$，所以由于摩擦产生的热量：${Q}_{2}=μmg（{x}_{2}-{x}_{1}）=μmg×（\frac{{{3v}_{0}}^{2}}{2μg}-\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}）$=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，由功能关系外力做的功为W=△E_k+Q₁+Q₂=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$+$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$+$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$=$m{{v}_{0}}^{2}$+$\frac{3{B}^{2}{l}^{2}{{v}_{0}}^{3}}{2μgR}$，所以选项C正确，选项D错误．
故选：BC

点评 本题的难点在于：一是要把导轨的运动过程弄清楚，在S=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{μg}$的距离内导轨先加速后匀速是本题设下的陷阱，先要通过求它的加速位移，才能知道导轨怎样运动及最后的速度．二是求外力做的功由功能关系来做，但要分段进行，且获得的是三种能量：导轨的动能、摩擦产生的热、克服安培力产生的焦耳热．