Question

4．在无风的羽毛球馆中，某人在离地面高为H处，将质量为m的羽毛球以速度v₀水平击出，假设羽毛球在空气中运动时所受的阻力f=kv，其中v是球的速度，k是已知的常数，阻力的方向与速度方向相反，并且球在着地前已经竖直向下做匀速运动，重力加速度为g．求：
（1）羽毛球刚被击出时加速度的大小；
（2）求羽毛球从被击出到着地过程中克服空气阻力做的功W；
（3）若另有一个与上述相同的羽毛球从同一地点由静止释故，并且球在着地前也以作匀速运动，试比较两球落地所需时间和着地时的速度，并简述理由．

Answer 1

分析 （1）对羽毛球进行受力分析，由矢量叠加的运算法则求得合外力，然后由牛顿第二定律求得加速度；
（2）由受力平衡求得末速度，然后由动能定理求解；
（3）分析两球竖直方向上的运动，得到运动时间；根据受力平衡得到末速度．

解答 解：（1）羽毛球刚被击出时受到竖直向下的重力G=mg和水平方向的空气阻力f₀=kv₀的作用，故合外力$F=\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+{k}^{2}{{v}_{0}}^{2}}$，
那么由牛顿第二定律可得：羽毛球刚被击出时加速度的大小${a}_{0}=\frac{F}{m}=\sqrt{{g}^{2}+（\frac{k{v}_{0}}{m}）^{2}}$；
（2）球在着地前已经竖直向下做匀速运动，故羽毛球着地时有mg=kv，那么，$v=\frac{mg}{k}$；
羽毛球运动过程中只有重力、空气阻力做功，故由动能定理可得：$mgH-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
所以，$W=mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$；
（3）另一球在着地前也以作匀速运动，那么由（2）可知，末速度也为$v=\frac{mg}{k}$，即两球着地时的速度相同；
水平抛出的球开始时在竖直方向的分速度为零，运动过程在竖直方向上受到的力和静止释放的完全一致，故两球在竖直方向上的运动相同，所以，两球落地所需时间相同；
答：（1）羽毛球刚被击出时加速度的大小为$\sqrt{{g}^{2}+（\frac{k{v}_{0}}{m}）^{2}}$；
（2）羽毛球从被击出到着地过程中克服空气阻力做的功W为$mgH+\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}}{2{k}^{2}}$；
（3）若另有一个与上述相同的羽毛球从同一地点由静止释故，并且球在着地前也以作匀速运动，那么两球落地所需时间和着地时的速度都相等．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．