Question

17．如图所示，MN是一段在竖直平面内半径为1m的光滑的1/4圆弧轨道，轨道上存在水平向右的匀强电场．轨道的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B₁=0.1T．现有一带电荷量为0.1C、质量为10g的带正电小球从M点由静止开始自由下滑，恰能沿NP方向做直线运动．已知EF板间的电压为U_EF=2V，板间距离d=2m，EF板间存在有方向垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂．ABCD是一边长为L=1m的正方形盒，各边均为光滑绝缘板，盒的AB边恰好与磁场的左边界重合．在AB边的中点有一小孔Q，小孔Q与N、P在同一条水平直线上，带电小球恰能从小孔Q进入正方形盒内，带电小球与绝缘板碰撞时不损失动能，但速度反向（g取10m/s²），求：
（1）小球运动到N点时的速度v．
（2）小球运动到N点时，重力和电场力的功率分别为多少？
（3）为保证带电小球与正方形盒的壁发生多次碰撞后，仍能从小孔Q离开，则右侧匀强磁场的磁感应强度B₂的大小为多少？

Answer 1

分析 （1）抓住小球沿NP做直线运动，根据重力和洛伦兹力平衡求出小球运动到N点的速度．
（2）根据动能定理求出电场力的大小，结合瞬时功率公式求出重力和电场力的功率．
（3）小球在板间复合场中所受的电场力和重力平衡，小球做圆周运动，

解答 解：（1）小球沿NP做直线运动，由平衡条件可得：
mg=qvB₁  
代入数据解得：v=10 m/s．
（2）小球从M点到N点的过程中，由动能定理得：
mgR+qER=$\frac{1}{2}$mv²，
代入数据解得：E=4 N/C或F_电=0.4N．
重力与速度垂直，则重力的功率为：P_G=0    
电场力的方向与速度同向，则电场力的功率为：P_E=Eqv=4×0.1×10W=4W．
（3）在板间复合场中小球受电场力为：$\frac{q{U}_{EF}}{d}=0.1N=mg$，与重力平衡．
故小球做匀速圆周运动，设运动半径为R′，由$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R′}$得：$R′=\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
欲使粒子仍能从Q孔处射出，粒子的运动轨迹可能是有两种情况．
根据几何关系知：$R′=\frac{L}{2（2n+1）}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$，（n=0，1，2，…）
解得：${B}_{2}=\frac{2（2n+1）mv}{qL}$=$\frac{2（2n+1）×0.01×10}{1×0.1}$=4n+2（T），（n=0，1，2，…）
根据几何关系知：$R′=\frac{L}{4k}$=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$，（k=1，2，…）
解得：${B}_{2}=\frac{4kmv}{qL}=\frac{4k×0.01×10}{1×0.1}$=4k（T），（k=1，2，…）
答：（1）小球运动到N点时的速度v为10m/s．
（2）小球运动到N点时，重力和电场力的功率分别为0，4W．
（3）右侧匀强磁场的磁感应强度B₂的大小为4n+2（T），（n=0，1，2，…），或4k（T），（k=1，2，…）

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，运动过程较为复杂，要注意分段进行分析，明确它在复合场中做直线运动、圆周运动等运动的受力特征及运动性质；注意在磁场中的圆心和半径的确定，在复合场中注意应用功能关系等进行分析．