Question

2．如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系O-xy，在该平面内有一平行y轴的匀强电场，大小为E，方向竖直向下．一过坐标原点与x轴成θ=60°角的无穷大的平板与竖直平面垂直．在y轴上某点有一质量为m、电量为+q的粒子以某一速度垂直电场射入电场，经过时间t₁时，在该平面内再另加一匀强电场E₁，粒子再经过时间t₂且t₁=t₂=t时，恰好垂直接触平板，且接触平板时速度为零．忽略粒子所受重力，求：
（1）粒子射入电场时的速度大小和在y轴上的位置；
（2）E₁的大小和与y轴之间的夹角α．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，粒子先做类平抛运动，再做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律和速度时间公式求出粒子在电场中的竖直分速度，结合平行四边形定则求出粒子射入电场时的速度．根据运动学公式求出粒子做类平抛运动的水平位移和竖直位移，加电场E₁后，粒子从A到D做匀减速直线运动，结合运动学公式求出AD的距离，通过几何关系求出粒子在y轴上的位置．
（2）粒子从A到D做匀减速直线运动，抓住沿平板方向合力为零，垂直平板方向产生加速度，结合牛顿第二定律和几何关系求出E₁的大小和与y轴之间的夹角α．

解答 解：（1）设粒子的初速度为v₀，在t₁时间内做类平抛运动，粒子在电场中的加速度为
a=$\frac{qE}{m}$，
粒子在电场中的竖直分速度v_y=at，
按题意分析得，$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}=tanθ$，
联立解得粒子抛出的速度${v}_{0}=\frac{\sqrt{3}qEt}{m}$．
t₁时刻粒子的速度为v=$\frac{{v}_{y}}{cosθ}=\frac{2qEt}{m}$，
对应的位移为x₁=v₀t，
$△y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
加电场E₁后，粒子从A到D做匀减速直线运动，故有：${s}_{AD}=\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{qE{t}^{2}}{m}$，
又${s}_{AB}={x}_{1}={v}_{0}{t}_{1}=\frac{\sqrt{3}qE{t}^{2}}{m}$，
所以${s}_{BC}=\frac{{s}_{AB}}{tanθ}=\frac{qE{t}^{2}}{m}$，${s}_{AC}=\frac{{s}_{AB}}{sinθ}=\frac{2qE{t}^{2}}{m}$，
${s}_{CD}={s}_{AD}+{s}_{AC}=\frac{3qE{t}^{2}}{m}$，${s}_{OC}=\frac{{s}_{CD}}{cosθ}=\frac{6qE{t}^{2}}{m}$，
故抛出点的y坐标为y=${s}_{OC}-{s}_{BC}+△y=\frac{11qE{t}^{2}}{2m}$．
（2）如图所示，设E₁方向与y轴成α角，由粒子从A到D的匀减速直线运动有：qE₁sin（θ-α）=qEsinθ，
qE₁cos（θ-α）-qEcosθ=ma₁，
${a}_{1}=\frac{v}{{t}_{2}}=\frac{2qE}{m}$，
联立解得${E}_{1}=\sqrt{7}E$，α=$60°-arcsin\frac{\sqrt{21}}{14}$．
答：（1）粒子射入电场时的速度大小为$\frac{\sqrt{3}qEt}{m}$，在y轴上的位置为$\frac{11q{Et}^{2}}{2m}$；
（2）E₁的大小为$\sqrt{7}E$，与y轴之间的夹角为$60°-arcsin\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场中的运动，关键理清粒子在整个过程中的运动规律，通过题意得出加上电场E₁后粒子做匀减速直线运动是解决本题的关键，本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练．