Question

16．如图所示，将半径为r的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道AB固定在竖直平面内，轨道末端与水平地 面相切．质量为m的小球从A点静止释放，小球通过水平面BC滑上固定曲面CD恰能到达最高点D，D到地面的高度为$\frac{r}{2}$，求：
（1）小球滑到最低点B时的速度大小；
（2）小球刚滑到最低点B，轨道对小球的支持力；  
（3）小球在整个过程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球从A滑至B的过程中，支持力不做功，只有重力做功，根据机械能守恒定律或动能定理列式求解；
（2）在圆弧最低点B，小球所受重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（3）对小球从A运动到D的整个过程运用动能定理列式求解．

解答 解：（1）由动能定理得
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$
则
$v=\sqrt{2gR}$
即小球滑到最低点B时，小球速度v的大小为$\sqrt{2gR}$．
（2）由牛顿第二定律得
${F_N}-mg=m\frac{v^2}{R}$
则
F_N=3mg
即小球刚到达最低点B时，轨道对小球支持力F_N的大小为3mg．
（3）对于小球从A运动到D的整个过程，由动能定理，得
mgR-mgh-W_f=0
则
W_f=mg（R-h）
即小球在曲面上克服摩擦力所做的功为mg（R-h）．
答：（1）小球滑到最低点B时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球刚滑到最低点B，轨道对小球的支持力大小为3mg；  
（3）小球在整个过程中克服摩擦力所做的功为mg（R-h）．

点评 本题关键在于灵活地选择运动过程运用动能定理列式，动能定理不涉及运动过程的加速度和时间，对于曲线运动同样适用．