题目内容

11．如图甲所示，一竖直平面内的轨道，由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE两部分组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，现将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止下滑，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F的大小，F随H的变化关系如图乙折线PQI所示，重力加速度g取10m/s2，求：

（1）小物块的质量；
（2）斜面的倾角；
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．

分析 （1）研究H≤0.4m的情况，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律得出F与H的关系式，由图象乙的信息求得物体的质量和R；
（2）根据圆轨道的半径R，可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角，从而得到斜面的倾角；
（3）对物块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力F的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因数．

解答 解：（1）当H≤0.4m时，根据机械能守恒定律得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立得：F=$\frac{2mg}{R}$H+mg
由图乙斜率和截距得：
$\frac{2mg}{R}$=$\frac{8-4}{0.4}$=10
mg=4
可得：m=0.4kg，R=0.8m
（2）由几何关系得：
  cos∠DOC=$\frac{0.4}{0.8}$=0.5，∠DOC=60°
则得斜面的倾角为：α=∠DOC=60°
（3）当H＞0.4m时，根据动能定理得：
mgH-μmgcosα•$\frac{H-0.4}{sinα}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得：
F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立得：F=mg+$\frac{2mgH-2\sqrt{3}μmg（H-0.4）}{R}$
将F=（6+10$\sqrt{3}$）N、H=（$\sqrt{3}$+0.4）m代入解得：μ=0.2
答：（1）小物块的质量是0.4kg；
（2）斜面的倾角是60°；
（3）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ是0.2．

点评 本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，结合图象联立方程组得到F与H的关系式．

练习册系列答案
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