Question

19．一根铁链总长为L，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为λ．现用手提起链的一端，使之以速度v竖直地匀速上升，试求在从一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量$\frac{λg{L}^{2}}{2v}$+λLv．

Answer 1

分析 本题采用微元法进行分析，设其中一小段为研究对象，由动量定理可分析手的拉力的动量．

解答 解：图示是链的一微元段离地的情景，则该段微元长为：
△x=$\frac{L}{n}$（n→∞）
该段微元质量△m=λ•△x；
设该元段从静止到被提起历时△t，那么竖直上升部分长x的链条在手的拉力F，重力的冲量作用下，发生了末段微元动量的变化，由动量定理：
（F-λxg）△t=△mv
F-λxg=$\frac{△x}{△t}$λv=λv²
解得：F=λv²+λxg=λv²+λgvt+t∈[0，$\frac{L}{v}$]
力随时间线性变化，故可由数学规律可知整个过程手拉力F的总冲量：
I=（λv²+$\frac{λgL}{2}$）•$\frac{L}{v}$=$\frac{λg{L}^{2}}{2v}$+λLv
故答案为：$\frac{λg{L}^{2}}{2v}$+λLv

点评 本题用到微分原理及来分析动量定理，要求学生对数学中的微元法掌握的较准确才能求解．属于考查数学规律在物理中的应用难度较大的题目．