Question

如图所示，在以OM和ON为边界的区域内有一磁感应强度为B，垂直于纸面向里的匀强磁场，在ON的左侧区域存在一平行于OM的匀强电场（图中未画出），OM、ON间的夹角α满足tanα=

3

2

，现有大量的带负电的粒子从O点以大小不同的速度垂直射入电场，粒子在MON平面内运动，一段时间后通过ON边界进入磁场，已知带电粒子的质量为m，带电量为q，以v₀的初速度射入电场中的粒子在磁场中运动时恰好与OM边界相切．不计重力和粒子间的相互作用，tan37°=

3

4

（1）试确定这些带电粒子第一次进入磁场的方向；
（2）试确定匀强电场的电场强度的大小和方向；
（3）若带电粒子射入电场的初速度v_x≥

4

9

v₀ ，试确定这些带电粒子第一次在磁场中运动的时间范围．（可用反三角函数表示）

Answer 1

（1）以O为坐标原点，v_x方向为想轴，OM方向为y轴建立直角坐标系如图所示，

粒子在电场中做类平抛运动，
在x轴方向上：x=v_xt，在y轴方向上：y=

1

2

at²，
tanα=

x

y

，tanβ=

vy

vx

=

at

vx

，
解得：tanβ=

2

tanα

=

4

3

，则β=53°，
所用带电粒子进入磁场的速度方向均与初速度方向成53°角．
（2）由题意可知，电场方向平行于OM向左，
由（1）所列方程可解得：t=

2vx

atanα

，x=

2 v 2x

atanα

=

4 v 2x

3a

，
带电粒子进入磁场做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

R

①，
解得：R=

mv

qB

=

mvx

qBcosβ

=

5mvx

3qB

，
以v₀的速度射入电场中的粒子在电磁场中的运动轨迹如图中实线所示，
由几何知识可知，x₀=R₀（1+sinβ）=

9

5

R₀ ②，
将v₀代入①②解得：a=

4qBv0

9

，
而a=

qE

m

，解得：E=

4Bv0

9

；
（3）由图示可知，粒子进入磁场的位置点a到粒子在磁场中做圆周运动的圆弧最低点b在x轴方向上的距离d为：
d=R（1+sinβ）=

3mvx

qB

，
则有：

x

d

=

4qBvx

9ma

，可知：当v_x＜v₀时，粒子将从OM边界飞出，
可知当v_x＞v₀时，粒子将不能从OM边界飞出，
因此当带电粒子的速度v_x=

4

9

v₀时，粒子第一次在磁场中的运动时间最短，
此时粒子进入磁场时沿x方向的位移与粒子在磁场中做圆周运动的半径关系为

x′

r

=

4

5

，则圆心恰好在OM上，如图所示：

由图示可知，带电粒子在磁场中运动的最短时间：
t_min=

127°

360°

T=

127

360

×

2πm

qB

=

127πm

180qB

，
故当带电粒子带电速度v_x≥v₀时，粒子第一次在磁场中运动的时间相同且最长，
由图示可知，最长时间：t_max=

3π-2(α+β)

2π

T=

[3π-2(α+β)]m

qB

，其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

，
综合以上分析可知，带电粒子第一次在磁场中运动时间范围是：

127πm

180qB

≤t′≤

[3π-2(α+β)]m

qB

，其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

；
答：（1）带电粒子第一次进入磁场的速度方向均与初速度方向成53°角．
（2）匀强电场的电场强度的大小为

4Bv0

9

，方向平行于OM向左；
（3）若带电粒子射入电场的初速度v_x≥

4

9

v₀ ，带电粒子第一次在磁场中运动的时间范围是

127πm

180qB

≤t′≤

[3π-2(α+β)]m

qB

（其中：α=arctan

3

2

，β=arctan

4

3

）．