Question

11．一个足够长的木板在水平地面上运动，在速度v₀=5m/s时将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，且m=1kg，物块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.20，木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.30．物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．g取10m/s²，求：
（1）物块与木板经过多长时间t₁达到共同速度，共同速度v₁是多少；
（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块和木块的位移分别是多少；
（3）整个过程中物块和木板，木板和地面因为摩擦而产生的热量分别是多少．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律分别求出木块和木板的加速度，结合速度时间公式求出速度相同所经历的时间，以及共同的速度．
（2）根据位移公式求出速度相等时，两者的相对位移大小，速度相等后，不能保持相对静止一起做匀减速运动，木块相对于木板向前滑，结合牛顿第二定律和运动学公式求出木块和木板速度减为零的位移，从而向前滑的相对位移，结合速度相等前相对向后滑的位移．
（3）由（2）出最终物块相对于木板的位移大小，然后由功能关系即可求出物块和木板，木板和地面因为摩擦而产生的热量．

解答 解：（1）放上木块后，木块的加速度${a}_{1}=\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g=2m/{s}^{2}$，
木板的加速度大小${a}_{2}=\frac{{μ}_{2}2mg+{μ}_{1}mg}{m}=2{μ}_{2}g+{μ}_{1}g$=2×3+2m/s²=8m/s，
设经过t时间速度相同，根据速度时间公式得，
a₁t=v₀-a₂t，
解得$t=\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\frac{5}{2+8}s=0.5s$．
此时的速度v=a₁t=2×0.5m/s=1m/s
（2）在速度相等时，木块的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×0.25m=0.25m$，
木板的位移${x}_{2}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=5×0.5-\frac{1}{2}×8×0.25$m=1.5m，
△x₁=1.5m-0.25m=1.25m
速度相等后由于整体的加速度大于木块的最大加速度，则木块和木板不能保持相对静止，木块和木板均做匀减速运动，木板的速度比木块的速度减小得快，
则木块相对于木板向前滑，则木板的加速度${a}_{3}=\frac{{μ}_{2}2mg-{μ}_{1}mg}{m}=2{μ}_{2}g-{μ}_{1}g$=2×3-2m/s²=4m/s²，
则木板继续向前做匀减速运动的位移${x}_{3}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{1}{8}=0.125$m，
因为木块对木板的摩擦力小于木板与地面间的摩擦力，木板停止后不再运动，木块的位移${x}_{4}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{1}{4}m=0.25$m，
（3）达到共同速度后木板与木块之间的相对位移：△x₂=0.25m-0.125m=0.125m，
则整个过程中物块和木板因为摩擦而产生的热量：Q₁=μ₁mg×（△x₁+△x₂）=0.2×1×10×（1.25+0.125）J=2.75J
整个过程中木板和地面因为摩擦而产生的热量：Q₂=μ₂•2mg×（x₁+x₂）=0.3×2×10×（1.5+0.125）J=9.75J
答：（1）0.5s后木板与木块速度相同；
（2）从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块和木板的位移分别是0.25m和0.125m；
（3）整个过程中物块和木板，木板和地面因为摩擦而产生的热量分别是2.75J和9.75J．

点评 解决本题的关键理清木块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，本题分析运动规律是关键．