如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片.可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=20m.该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的Q点.圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐.圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使质量m=100kg的小车从P点以一定的初速度v0沿斜面向下运动.不计空气阻力.已知斜轨道面与小车� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图．模型图中光滑圆形轨道的半径R=20m，该光滑圆形轨道固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的Q点，圆形轨道的最高点A与倾斜轨道上的P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接．现使质量m=100kg的小车（视为质点）从P点以一定的初速度v₀沿斜面向下运动，不计空气阻力，已知斜轨道面与小车间的动摩擦力为μ=$\frac{7}{160}$，取g=10m/
s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan18.5°=$\frac{1}{3}$．若小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，则：
（1）小车在A点的速度为多大？
（2）小车运动到圆形轨道最低点时对轨道的压力大小？
（3）初速度v₀的大小？

分析（1）小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度．
（2）根据动能定理或机械能守恒求出小车最低点的速度，再运用牛顿第二定律，通过支持力和重力的合力提供向心力，求出支持力，由牛顿第三定律得到压力．
（3）对P到A全过程运用动能定理，重力做功为零，根据几何关系求出在斜面上的位移，通过动能定理求出初速度${v}_{0}^{\;}$．

解答解：（1）由于小车恰能通过A点，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×20}$ m/s=10$\sqrt{2}$m/s   ①
（2）如图，小车经轨道最低点时对轨道压力最大．设在最低点轨道对小车的支持力为${F}_{N}^{\;}$
则有：${F}_{N}^{\;}$-mg=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$   ②
小车由D到A的运动过程机械能守恒
则有：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$     ③
由①②③得：${F}_{N}^{\;}=6mg$．
由牛顿第三定律，在D点小车对轨道的压力${F}_{N}^{′}$=${F}_{N}^{\;}$=6mg=6000N．
（3）设PQ距离为L，对小车由P到A的过程应用动能定理
得：-μmgLcos37°=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$④
由几何关系：L=$\frac{R+Rcos37°}{sin37°}$=60m⑤
由①④⑤得：${v}_{0}^{\;}=11\sqrt{2}m/s$
答：（1）小车在A点的速度为$10\sqrt{2}$m/s．
（2）小车运动到圆形轨道最低点时对轨道的压力大小为6000N．
（3）初速度v₀的大小为$11\sqrt{2}m/s$．

点评本题综合考查了牛顿第二定律和动能定理，关键是理清运动的过程，运用合适的规律进行求解．

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	A．	变大		B．	变小
	C．	不变		D．	大小变化情况无法确定

	A．	直线P		B．	曲线Q
	C．	曲线R		D．	三条轨迹都有可能

	A．	与速度方向一定相同		B．	与速度方向一定相反
	C．	与速度方向可能相同，也可能相反		D．	可能为零

	A．	力是改变物体运动状态的原因		B．	物体的运动情况与所受外力无关
	C．	物体不受力时一定处于静止状态		D．	物体不受力时一定处于运动状态

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