Question

7．如图所示，竖直的四分之一圆弧光滑轨道固定在平台AB上，轨道半径R=1.8m，底端与平台相切于A点．倾角为θ=37°的斜面BC紧靠平台固定，斜面顶端与平台等高．从圆弧轨道最高点由静止释放质量为m=1kg的滑块a，当a运动到B点的同时，与滑块a质量相同的滑块b从斜面底端C点以速度v₀=5m/s沿斜面向上运动，a、b（视为质点）恰好在斜面上的P点相遇，已知AB长度s=2m，a与AB面及b与BC面间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑块a在圆弧轨道底端时对轨道压力；
（2）滑块到B点时的速度大小；
（3）斜面上P、C间的距离．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出滑块a到达A点时的速度，再由牛顿运动定律求解滑块a在圆弧轨道底端时对轨道压力；
（2）滑块a在AB段做匀减速运动，由牛顿第二定律得到加速度，再由运动学公式求解出滑块a到B点时的速度大小；
（3）滑块a离开B点后做平抛运动，滑块b沿斜面向上做匀减速运动，由平抛运动的规律求出时间，再由牛顿第二定律和运动学公式求PC间的距离．

解答 解：（1）在圆弧轨道上，由动能定理
  mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_A^2$
得v_A=6m/s    
在A点，由牛顿第二定律有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入数据得 F_N=3mg=30N     
由牛顿第三定律可知，N=30N，方向向下 
（2）由A→B，由牛顿第二定律及运动学公式得
 μmg=ma_A    
-2a_As=v_B²-v_A²    
解得 v_B=4m/s  
（3）滑块a离开B点后做平抛运动，则
 x=v_Bt
 y=$\frac{1}{2}$gt²
又有 tanθ=$\frac{y}{x}$     
代入数据得 t=0.6s    
滑块b沿斜面向上运动，则牛顿第二定律
 a₁=gsinθ+μmgcosθ=10m/s²     
滑块b从C点开始运动到速度为零时所用时间
 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=0.5s＜0.6s
因此，滑块b要沿斜面下滑，由牛顿第二定律
 a₂=gsinθ-μgcosθ=2m/s²   
P、C间的距离x=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²-$\frac{1}{2}$a₂（t-t₁）²=1.24m
答：
（1）滑块a在圆弧轨道底端时对轨道压力是30N，方向竖直向下；
（2）滑块到B点时的速度大小是4m/s；
（3）斜面上P、C间的距离是1.24m．

点评 本题考查了动能定理与平抛运动、圆周运动的综合，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键，本题的难点在于确定出滑块b在斜面上的运动情况．