Question

8．如图所示，在光滑水平地面置有一凹形滑板ABC，紧靠左侧障碍物P，质量为M=4m，AB为半径为R=0.45m的$\frac{1}{4}$光滑弧面，BC长度为L，滑块P₁和P₂的质量均为m，P₁与BC面的动摩擦因数为μ=0.80，P₂与BC之间的摩擦忽略；开始时P₁以v₀=4m/s的初速度从A点沿弧面滑下，P₂静止在滑板最左端C点，P₁和P₂ 碰撞后粘成一粘合体P，g=10m/s²．求：
（1）P₁滑到B点的速度大小．
（2）若L足够长，求P₁和P₂碰撞后瞬间，粘合体P的速度大小．
（3）讨论滑块P₁和P₂碰撞后粘成一粘合体P的速度大小与L的关系．

Answer 1

分析 1、对P₁由动能定理求得P₁滑到B点的速度大小
2、对P₁与滑板由动量守恒定律列出等式，对P₁与P₂由动量守恒定律列出等式求解．
3、P₁和滑板达到共速的过程中根据能量守恒和动能定理求得板长，再进行讨论分析求解．

解答 解：（1）对P₁由动能定理得：
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$ 
解得：v₁=5m/s，
（2）L足够长，P₁与滑板先共速再与P₂发生碰撞，规定向右为正方向，
对P₁与滑板：由动量守恒定律得mv₁=5mv₂
对P₁与P₂：由动量守恒定律得mv₂=2mv₃
解得：v₃=0.5m/s，
（3）P₁和滑板达到共速的过程中：
根据能量守恒得：μmgL₀=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}×5m×$${v}_{2}^{2}$
解得：L₀=1.25m                 
对滑板由动能定理得：μmgs₁=$\frac{1}{2}×4m×$${v}_{2}^{2}$-0
解得s₁=0.25m                     
此时板长l=L₀+s₁=1.5m            
讨论：当L≥1.5m，P₁与滑板先共速再与P₂发生碰撞，v=v₃=0.5m/s
当L＜1.5m，P₁与滑板未共速已与P₂发生碰撞，
对P₁：由动能定理得：μmgL=$\frac{1}{2}$m${v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$
 解得：v₄=$\sqrt{25-16L}$
由对P₁与P₂，由动量守恒定律得mv₄=2mv₅ 
解得：v₅=$\frac{\sqrt{25-16L}}{2}$
答：（1）P₁滑到B点的速度大小是5m/s．
（2）若L足够长，求P₁和P₂碰撞后瞬间，粘合体P的速度大小是0.5m/s．
（3）当L≥1.5m，v=0.5m/s；当L＜1.5m，v₅=$\frac{\sqrt{25-16L}}{2}$．

点评 本题考查动量守恒及功能关系的综合应用，要注意正确分析受力及运动过程，从而分别对每一过程选择正确的物理规律进行求解．