Question

4．如图所示，XOY平面内存在以坐标（0，r）为圆心，半径为r的圆形有界磁场，磁场方向垂直纸面向里，一束电量均为q（q＞0），质量均为m的粒子均从原点O以相同的速率v射入磁场，入射方向在XOY平面内分布在Y轴左右两侧各30°范围内，所有粒子从磁场离开时速度方向均平行于X轴，在X=2r处有一平行于Y轴的足够长的荧光屏，不计带电粒子的重力，不考虑粒子间的相互作用，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）从O点到击中光屏所用时间最长和最短的粒子运动时间之差；
（3）荧光屏上有粒子击中的区域在Y轴方向上的宽度．

Answer 1

分析 （1）选择沿Y轴发射的粒子作为研究对象，利用洛伦兹力提供向心力，结合几何关系，即可求解磁感应强度B的大小；
（2）找到从O点到击中光屏所用时间最长和最短的粒子，即转过的圆心角最大和最小的粒子，画出粒子轨迹过程图，利用周期公式T=$\frac{2πr}{v}$结合粒子转过的圆心角，求出粒子在磁场中运动的最短和最长时间，再将两个时间做差即可；
（3）找到粒子打中荧光屏最上面和最下面的两个临界情况，利用几何关系分别求出两个临界点的Y坐标，做差即可求出荧光屏上有粒子击中的区域在Y轴方向上的宽度．

解答 解：（1）如图一所示，以沿Y轴正方向入射的粒子为研究对象，出设速度平行于X轴，

根据几何关系可知轨迹圆半径：R=r
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立可得：B=$\frac{mv}{qr}$
（2）如图二所示，入射方向分别与X轴正负方向夹角为60°的两个粒子轨迹圆心角分别为α、β，出射点到荧光屏的距离分别为d₁，d₂，

由几何关系可知：α=60°，β=120°，d₁=d₂，
设d₁=d₂=d
t₁=$\frac{1}{6}T+\frac{d}{v}$
t₂=$\frac{1}{3}T+\frac{d}{v}$
T=$\frac{2πr}{v}$
△t=t₂-t₁=$\frac{1}{6}•\frac{2πr}{v}$=$\frac{πr}{3v}$
（3）由于粒子离开磁场后做匀速直线运动，所以粒子打在荧光屏上的长度即为从磁场中离开时的距离
从第一象限入射磁场与Y轴夹角为30°的粒子：y₁=r+rsin30°
从第二象限入射磁场与Y轴夹角为30°的粒子：y₂=rsin30°
荧光屏上有粒子击中的区域在Y轴方向上的宽度：△y=y₁-y₂=r
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{qr}$；
（2）从O点到击中光屏所用时间最长和最短的粒子运动时间之差为$\frac{πr}{3v}$；
（3）荧光屏上有粒子击中的区域在Y轴方向上的宽度为r．

点评 本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，利用洛伦兹力提供向心力结合临界几何关系即可求解，对数学几何能力要求较高．