题目内容
12．
如图所示，图面内有竖直线DD′，过DD′且垂直于图面的平面将空间分成Ⅰ、Ⅱ两区域．区域I有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直图面的匀强磁场B（图中未画出）；区域Ⅱ有固定在水平面上高h=2l、倾角α=$\frac{π}{4}$的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线DD′距离s=4l，区域Ⅱ可加竖直方向的大小不同的匀强电场（图中未画出）；C点在DD′上，距地面高H=3l．零时刻，质量为m、带电荷量为q的小球P在K点具有大小v0=$\sqrt{gl}$、方向与水平面夹角θ=$\frac{π}{3}$的速度，在区域I内做半径r=$\frac{3l}{π}$的匀速圆周运动，经C点水平进入区域Ⅱ．某时刻，不带电的绝缘小球A由斜面顶端静止释放，在某处与刚运动到斜面的小球P相遇．小球视为质点，不计空气阻力及小球P所带电量对空间电磁场的影响．l已知，g为重力加速度．（1）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若小球A、P在斜面底端相遇，求释放小球A的时刻tA；
（3）若小球A、P在时刻t=β$\sqrt{\frac{l}{g}}$（β为常数）相遇于斜面某处，求此情况下区域Ⅱ的匀强电场的场强E，并讨论场强E的极大值和极小值及相应的方向．
分析 （1）带电粒子在复合场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，电场力和重力平衡
（2）求出小球A沿斜面匀加速运动的时间、小球P匀速圆周运动的时间及离开磁场类平抛运动的时间，根据时间关系求释放小球A的时刻
（3）小球P进入Ⅱ区做类平抛运动，根据类平抛规律列式，结合数学知识求E的最值．
解答 解：（1）小球P在Ⅰ区做匀速圆周运动，则小球P必定带正电，且所受电场力与重力大小相等．
设Ⅰ区磁感应强度大小为B，由洛伦兹力提供向心力得：
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$①
代入数据得：
$B=\frac{πm}{3ql}\sqrt{gl}$②
（2）小球P先在Ⅰ区以D为圆心做匀速圆周运动，由小球初速度和水平方向夹角为θ可得，小球将偏转θ角后自C点水平进入Ⅱ区做类平抛运动到斜面底端B点，如图所示，运动到C点的时刻为${t}_{C}^{\;}$，到达斜面时刻为${t}_{1}^{\;}$，有
${t}_{C}^{\;}=\frac{θr}{{v}_{0}^{\;}}$③
$s-hcotα={v}_{0}^{\;}（{t}_{1}^{\;}-{t}_{C}^{\;}）$④
小球A释放后沿斜面运动的加速度为${a}_{A}^{\;}$，与小球P在时刻${t}_{1}^{\;}$相遇于斜面底端，有
$mgsinα=m{a}_{A}^{\;}$⑤
$\frac{h}{sinα}=\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{\;}）_{\;}^{2}$⑥
联立以上方程可得：${t}_{A}^{\;}=（3-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{l}{g}}$⑦
（3）设所求电场方向向下，在${t}_{A}^{′}$时刻释放小球A，小球P在区域Ⅱ运动加速度为${a}_{p}^{\;}$，有
则小球A、P相遇时，由运动公式及几何关系可得：
$s={v}_{0}^{\;}（t-{t}_{C}^{\;}）+\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{′}）_{\;}^{2}cosα$⑧
$mg+qE=m{a}_{p}^{\;}$⑨
$H-h+\frac{1}{2}{a}_{A}^{\;}（t-{t}_{A}^{′}）_{\;}^{2}sinα=\frac{1}{2}{a}_{p}^{\;}（t-{t}_{C}^{\;}）_{\;}^{2}$⑩
联立相关方程解得$E=\frac{（11-{β}_{\;}^{2}）mg}{q（β-1）_{\;}^{2}}$
对小球P的所有运动情形讨论可得得3≤β≤5
由此可得场强极小值为Emin=0，场强极大值为Emax=$\frac{7mg}{8q}$，方向竖直向上
答：（1）磁感应强度大小为$\frac{πm}{3qL}\sqrt{gl}$
（2）小球A释放时刻为$（3-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{l}{g}}$
（3）电场强度为$\frac{（11-{β}_{\;}^{2}）mg}{q（β-1）_{\;}^{2}}$，极大值$\frac{7mg}{8q}$，竖直向上；极小值为0．
点评 这是一道综合性非常强的题目，涉及的知识点非常多，关键是分析小球的受力情况运动过程，尤其是第三问难度较大，体现了运用数学知识解决物理问题的能力．
轻松暑假总复习系列答案
如图所示，虚线表示某电场中的四个等势面，相邻等势面间的电势差相等．一不计重力的带负电的粒子从右侧垂直等势面Φ4向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断（ ）| A． | Φ1＞Φ2＞Φ3＞Φ4 | |
| B． | 粒子的运动轨迹和Φ2等势面可能垂直 | |
| C． | Φ4等势面上各点场强处处相等 | |
| D． | 该区域可能是等量异种点电荷形成的电场 |
简谐横波在均匀介质中沿直线传播，P、Q是传播方向上相距10m的两质点，波先传到P，当波传到Q开始计时，P、Q两质点的振动图象如图所示．则（ ）| A． | 质点Q开始振动的方向沿y轴正方向 | B． | 该波从P传到Q的时间可能为7s | ||
| C． | 该波的传播速度可能为2m/s | D． | 该波的波长可能为6m |
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| B． | 若从上往下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动 | |
| C． | 若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化 | |
| D． | 若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍 |
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我国成功研发的反隐身先进米波雷达堪称隐身飞机的克星，它标志着我国雷达研究又创新的里程碑．米波雷达发射无线电波的波长在1～10m范围内，对该无线电波的判断正确的是（ ）| A． | 米波的频率比厘米波频率高 | B． | 和机械波一样须靠介质传播 | ||
| C． | 同光波一样会发生反射现象 | D． | 不可能产生干涉和衍射现象 |