题目内容

12．如图所示，固定斜面AB、CD与竖直光滑圆弧BC相切于B、C点，两斜面的倾角θ=37°，圆弧BC半径R=2m．一质量m=1kg的小滑块（视为质点）从斜面AB上的P点由静止沿斜面下滑，经圆弧BC冲上斜面CD．已知P点与斜面底端B间的距离L1=6m，滑块与两斜面间的动摩擦因数均为μ=0.25，g=10m/s2．求：

（1）小滑块第1次经过圆弧最低点E时的速率；
（2）小滑块第1次滑上斜面CD时能够到达的最高点Q（图中未标出）距C点的距离； 
（3）小滑块从静止开始下滑到第8次到达B点的过程中在斜面AB上运动通过的总路程．

分析 （1）对从P运动到E点过程运用动能定理列式求解E点速度．
（2）根据动能定理列式求解即可；
（3）先找出物体在斜面上滑动位移间的规律，然后分为留在左右两侧讨论．

解答 解：（1）小滑块由P运动到E点，由动能定理有：
   mgL1sin37°+mgR（1-cos37°）-μmgcos37°L1=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
解得：vE=2$\sqrt{14}$m/s
（2）设小滑块第1次滑上斜面CD时能够到达的最高点Q距C点的距离为x1．
小滑块由P运动到Q点，由动能定理得：mg（L1-x1）sin37°-μmg（L1+x1）cos37°=0
解得 x1=$\frac{{L}_{1}}{2}$=3m
（3）设小滑块在斜面AB上依次下滑的距离分别为L1、L2、L3…，在斜面CD上依次上滑的距离分别为x1、x2、x3…，
与上同理可得：L2=$\frac{{x}_{2}}{2}$，x2=$\frac{{L}_{2}}{2}$，L3=$\frac{{x}_{2}}{2}$，x3=$\frac{{L}_{3}}{2}$…．
L1、L2、L3…构成公比为$\frac{1}{4}$的等比数列．
设从静止开始下滑到第8次到达B点的过程中在斜面AB上运动通过的总路程为S8．
则  S8=L1+2（L2+L3+…+L7）=6+2×$\frac{1.5×[1-（\frac{1}{4}）^{7}]}{1-\frac{1}{4}}$≈10m
答
（1）小滑块第1次经过圆弧最低点E时的速率是2$\sqrt{14}$m/s；
（2）小滑块第1次滑上斜面CD时能够到达的最高点Q距C点的距离是3m；
（3）小滑块从静止开始下滑到第8次到达B点的过程中在斜面AB上运动通过的总路程是10m．

点评 本题关键要多次根据动能定理列式求解，对于第三问，关键找出重复性规律，然后分两种情况讨论，要有一定的熟悉处理能力．

练习册系列答案
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