题目内容

2．如图所示，将小物块（可视为质点）平放在水平桌面的一张薄纸上，对纸施加恒定水平 拉力将其从物块底下抽出，物块的位移很小，人眼几乎观察不到物块的移动．已知物块的质量为M，纸与桌面、物块与桌面间的动摩擦因数均为μ1，纸与物块间的动摩擦因数为μ2，重力加速度为g．
（1）若薄纸的质量为m，则从开始抽纸到纸被抽离物块底 部的过程中，
①求薄纸所受总的摩擦力为多大； 
②从冲量和动量的定义，结合牛顿运动定律和运动学规律，证明：水平拉力F和桌面对薄纸摩擦力的总冲量等于物块和纸的总动量的变化量．（注意：解题过程中需要用到、但题目中没有 给出的物理量，要在解题中做必要的说明．）
（2）若薄纸质量可忽略，纸的后边缘到物块的距离为L，从开始抽纸到物块最终停下，若物块相对桌面移动了很小的距离s0（人眼观察不到物块的移动），求此过程中水平拉力所做的功．

分析 （1）①根据滑动摩擦力公式f=μN求解摩擦力．
②根据牛顿第二定律得物块和薄纸的加速度．从而得到速度的变化量，再研究水平拉力F和桌面对薄纸摩擦力的总冲量，即可证明．
（2）根据相对位移，得到摩擦产生的热量，利用功能关系求解．

解答 解：（1）①从开始抽纸到纸被抽离物块底部的过程中，
物块对薄纸施加的摩擦力 f物=μ2Mg
水平桌面对薄纸施加的摩擦力 f桌=μ1（M+m）g
薄纸受到的总的摩擦阻力 f总=μ1（M+m）g+μ2Mg
②从开始抽纸到薄纸被抽离物块底部的过程，假设物块的加速度为aM、薄纸的加速度为am，所用时间为t，这一过程物块和纸张的速度变化量分别为△vM，△vm．
则有△vM=aMt，△vm=amt，
对于薄纸，根据牛顿第二定律有 F-f桌-f物=mam
对于物块，根据牛顿第二定律有   f纸=MaM
由牛顿第三定律有    f物=f纸
由以上三式解得    F-f桌=mam+MaM
上式左右两边都乘以时间t，有（F-f桌）t=mamt+MaMt=m△vm+M△vM
上式左边即为水平拉力F和桌面对薄纸摩擦力的总冲量，右边即为物块和纸的总动量的变化量．命题得证．
说明：其他方法正确同样得分．
（2）设物块在薄纸上加速和在桌面上减速的位移分别为x1，x2，
则物块对地位移 s0=x1+x2
因薄纸质量可忽略，故其动能可忽略，所以水平拉力F所做的功有以下一些去向：
薄纸与桌面间的摩擦生热  Q1=μ1Mg（x1+L）
物块与薄纸间的摩擦生热  Q2=μ2Mgs相=μ2MgL
物块与桌面间的摩擦生热  Q3=μ1Mgx2
由功能关系有 WF=Q1+Q2+Q3
解得 WF=μ1Mg（s0+L）+μ2MgL
所以，水平拉力F所做的功 W=μ1Mg（s0+L）+μ2MgL．
答：
（1）①薄纸所受总的摩擦力为μ1（M+m）g+μ2Mg．②证明见上．
（2）此过程中水平拉力所做的功为μ1Mg（s0+L）+μ2MgL．

点评 本题关键对物块和薄纸分别受力分析后根据牛顿第二定律求解加速度；要知道摩擦生热与相对位移有关，利用功能关系也是求功的一种方法．

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