Question

17．如图所示，质量m=0.10kg的靶盒B位于光滑水平导轨上，开始时静止在O点，在O点右侧有范围很广的“相互作用区域”，如图中的虚线区域．当靶盒B进入相互作用区域时便有向左的水平恒力F=50N作用．在P处有一固定的手枪A，它可根据需要瞄准靶盒每次发射一颗水平速度V₀=100m/s、质量同样为m=0.10kg的子弹，当子弹打入靶盒B后，便留在盒内，碰撞时间极短．若每当靶盒B停在或到达O点时，就有一颗子弹进入靶盒B内，求：
（1）当第一颗子弹进入靶盒B后，靶盒B离开O点的最大距离；
（2）求第三颗子弹进入靶盒B到第四颗子弹进入靶盒B的时间间隔；
（3）从初始时刻到第n颗子弹恰好与靶盒相对静止时，子弹与靶盒组成的系统所产生的内能为多少？（不考虑手枪发射子弹时产生的内能的影响）

Answer 1

分析 （1）第一颗子弹进入靶盒A后，根据碰撞过程系统动量守恒列出等式，再运用动能定理求解
（2）根据题意，A在的恒力F的作用返回O点时第二颗子弹正好打入，由于A的动量与第二颗子弹动量大小相同，方向相反，故第二颗子弹打入后，A将静止在O点．
由系统动量守恒和动能定理求解．
（3）运用归纳法得到第（2k-1）颗子弹打入后靶盒的运动速度，由能量守恒定律求出系统产生的热能表达式，再用同样的方法得到第2k颗子弹打入后系统产生的热能．

解答 解：（1）设第一课子弹进入靶盒B后，子弹与靶盒的共同速度为v₁．取向右为正方向
由动量守恒定律有：mv₀=（m+m）v₁
设B离开O点的最大距离为s₁，由动能定理得
-Fs₁=0-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
解得：s₁=5m   
（2）根据题意，B在恒力F的作用下返回O点时第二颗子弹正好打入，由于靶盒与第二颗子弹的动量之和为零，故第二颗子弹打入时，B将静止在O点．
第三颗子弹打入后，由系统动量守恒得
  mv₀=（3m+m）v₃
B离开O点再回到O点，取碰后A运动的方向为正方向，由动量定理得
-Ft₃=0-2（3m+m）v₃
解得 t₃=0.4s
（3）由第（2）问的计算可以看出，第（2k-1）颗子弹打入后，
靶盒的运动速度  mv₀=[（2k-1）m+m）]v_2k-1
系统产生的热能 Q_2k-1=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$[（2k-1）m+m）]v_2k-1²=（1-$\frac{1}{2k}$）•$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
第2k颗子弹打入后，靶盒静止不动，
系统动能全部转化为内能  Q_2k=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$[（2k-1）m+m）]v_2k-1²=（1+$\frac{1}{2k}$）•$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
 
当n为奇数时 Q_总=Q₁+Q₂+…+Q_n=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$（n-$\frac{1}{n+1}$）=500（n-$\frac{1}{n+1}$）
当n为偶数时 Q_总=Q₁+Q₂+…+Q_n=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$•n=500n
答：
（1）当第一颗子弹进入靶盒B后，靶盒B离开O点的最大距离是5m；
（2）求第三颗子弹进入靶盒B到第四颗子弹进入靶盒B的时间间隔是0.4s；
（3）弹与靶盒组成的系统所产生的内能为500（n-$\frac{1}{n+1}$）或500n．

点评 对于碰撞过程，其基本规律动量守恒定律要掌握牢固，并能正确运用．能把动量守恒定律和动能定理结合应用．