Question

12．（1）在建筑砂石料产地或粮库常将颗粒输送到高处落下在水平地面自然堆积成圆锥，其示意图如图所示；表格记录了一次在实验室中用干砂子模拟砂堆所测量的数据，表格中H为圆锥高度，L为圆锥底部直径．
 

H（cm）	4	8	10	12	14	20
L（cm）	50	50	50	60	70	100

试简要解释数据表格所反映的物理现象并求砂子间的平均摩擦因数．
（2）现需将总体积为V且颗粒间摩擦因素为μ的砂子在水平平整场地中自然堆放，写出砂堆所需底部最小面积 S_min的表达式．（圆锥体积公式$\frac{1}{3}$πr²h ）

Answer 1

分析 （1）当S一定，H增加时，最外面的颗粒受静摩擦力增加，达到最大静摩擦力时，H将不能增加，考虑临界情况；
（2）对最外面的颗粒受力分析，受重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件列式求解．

解答 解：（1）H＜10cm时，底部圆直径未见变化，沙堆的倾角不断增加，反映了漏下的沙子在表面上的堆积而没有整体下滑，说明倾角过小，处于表面层的沙子满足tanα＜μ的关系；
H＞10cm阶段，底部圆直径与沙堆高度成正比，说明沙堆倾角保持不变，漏下的沙子沿着表面向下滑动，表面的沙子满足：tan＞μ，沙石间动摩擦因数μ基本不变，沙堆倾角将维持在最大角α_m；
考虑恰好不滑动的临界情况，表面沙石受重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα=$\frac{H}{\frac{L}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}×60}=0.4$；
（2）当动摩擦因数为μ时，最大静摩擦力等于重力的下滑分力，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα
结合几何关系，有：
tanα=$\frac{H}{\frac{1}{2}L}=\frac{2H}{L}$    ①
故最大面积为：V=$\frac{1}{3}{S}_{min}H=\frac{1}{3}×π{（\frac{L}{2}）}^{2}×H$=$\frac{π{L}^{2}H}{12}$  ②
联立解得：
${S}_{min}=\root{3}{\frac{36π{V}^{2}}{{μ}^{2}}}$
答：砂子间的平均摩擦因数为0.4；
（2）砂堆所需底部最小面积 S_min的表达式为${S}_{min}=\root{3}{\frac{36π{V}^{2}}{{μ}^{2}}}$．

点评 本题是临界态的平衡问题，关键是明确沙堆体积不能无限增加的原因，要考虑临界情况，对最外层的沙石进行受力分析，然后根据平衡条件列式求解．
共点力平衡的处理方法
（1）三力平衡的基本解题方法
①力的合成、分解法：即分析物体的受力，把某两个力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力，二是把重力按实际效果进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力．
②相似三角形法：利用矢量三角形与几何三角形相似的关系，建立方程求解力的方法．应用这种方法，往往能收到简捷的效果．
（2）多力平衡的基本解题方法：正交分解法
利用正交分解方法解体的一般步骤：
①明确研究对象；
②进行受力分析；
③建立直角坐标系，建立坐标系的原则是让尽可能多的力落在坐标轴上，将不在坐标轴上的力正交分解；
④x方向，y方向分别列平衡方程求解．
注意：求解平衡问题关键在于对物体正确的受力分析，不能多力，也不能少力，对于三力平衡，如果是特殊角度，一般采用力的合成、分解法，对于非特殊角，可采用相似三角形法求解，对于多力平衡，一般采用正交分解法．