Question

6．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
（1）若测得引力常量为G，试“称量”地球的质量M；
（2）试推导每宇宙速度V的表达式；
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运动轨道距离地面高度为h，求卫星的周期T．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量．
（2）第一宇宙速度等于卫星贴近地球表面做圆周运动的速度，其轨道半径近似等于地球的半径，根据重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（3）根据卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力，忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式，联立求解．

解答 解：（1）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，
（2）卫星绕地球表面附近做匀速圆周运动时受到的万有引力近似等于重力，设飞船的质量为m，地球的质量为M，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$，
（3）卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力有：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，r=R+h
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$，
答：（1）地球的质量是$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）第一宇宙速度V的表达式是v=$\sqrt{gR}$；
（3）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运动轨道距离地面高度为h，卫星的周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，并能灵活运用．