Question

11．如图所示，桥面为圆弧形的立交桥横跨在水平路面上，桥长L=80m，桥高h=20m．一质量m=800kg的小汽车沿桥运动，取g=10m/s²．
（1）汽车运动到桥顶时，为防止腾空失控，求汽车速度v应满足的条件；
（2）若汽车在桥顶时速度v=15m/s，能否腾空失控？若不腾空，求出汽车在桥顶时对桥面的压力．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出拱桥的半径，抓住支持力为零，根据牛顿第二定律求出汽车的最大速度．
（2）通过速度比较判断汽车能否腾空失控，若不能，结合牛顿第二定律求出支持力，从而得出压力的大小．

解答 解：（1）根据几何关系得：${r}^{2}=（r-h）^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}$，
代入数据解得：r=50m，
当支持力为零时，根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{gr}=\sqrt{10×50}m/s=10\sqrt{5}$m/s，
可知汽车速度满足的条件是$v＜10\sqrt{5}$m/s．
（2）15m/s$＜10\sqrt{5}$m/s，
根据牛顿第二定律得：$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入数据解得：${F}_{N}=4.4×1{0}^{3}$N，
根据牛顿第三定律知，压力为：${F}_{N}′={F}_{N}=4.4×1{0}^{3}N$．
答：（1）汽车速度v应满足的条件是$v＜10\sqrt{5}$m/s．
（2）汽车在桥顶时对桥面的压力为4.4×10³N．

点评 解决本题的关键知道汽车在桥顶向心力的来源，结合几何关系和牛顿第二定律进行求解，难度不大．