Question

9．如图所示，木板A和有$\frac{1}{4}$光滑圆弧面的滑块B静止在光滑水平面上，A的上表面与圆弧的最低点相切，A的左端有一可视为质点的小铁块C．现突然给C水平向右的初速度v₀，C经过A的右端时速度变为原初速度的一半，之后滑到B上并刚好能到达圆弧的最高点．若A、B、C的质量均为m，重力加速度为g．求：
（i）小铁块C滑上B瞬间AB的速度；
（ii）光滑圆弧面的半径．

Answer 1

分析 ABC组成的系统水平方向不受力，满足动量守恒，可求得滑块C滑上B时速度，再以BC为系统水平方向动量守恒，求得C到达B的最高点时BC的速度，再根据能量守恒求得圆弧的半径．

解答 解：（i）先以ABC为系统，水平方向不受外力，所以动量守恒，设初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
$m{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}}{2}+2m{v}_{1}$
可得C滑上B瞬间AB的速度为：${v}_{1}=\frac{{v}_{0}}{4}$
（i i）C到B上后，B与A脱离，再以BC为系统，C到达圆弧的最高点时，BC的共同速度为v₂，水平方向由动量守恒定律得：
$m\frac{{v}_{0}}{2}+m\frac{{v}_{0}}{4}=2m{v}_{2}$
解得：${v_2}=\frac{{3{v_0}}}{8}$
BC组成的系统中只有重力做功，由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{（\frac{v_0}{2}）^2}+\frac{1}{2}m{（\frac{v_0}{4}）^2}=\frac{1}{2}×2mv_2^2+mgR$
代入数据可解得：$R=\frac{v_0^2}{64g}$
答：（i）小铁块C滑上B瞬间AB的速度为$\frac{{v}_{0}}{4}$；
（ii）光滑圆弧面的半径为$\frac{{v}_{0}^{2}}{64g}$．

点评 解决本题的关键是抓住系统水平方向动量守恒，再根据无摩擦运动系统机械能守恒，掌握解决问题的思路是正确解题的关键．