Question

16．已知引力常量为G，地球半径为R，月球和地球球心间的距离为r，同步卫星距地面的高度为h，月球绕地球运行的周期为T₁，地球的自转周期为T₂，地球表面的重力加速度为g，某同学根据以上条件，估算地球质量M的表达式正确的是（　　）

• A． M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}_{1}}$
• C． M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}（h+R）^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力和万有引力提供向心力求解中心天体（地球）的质量．

解答 解：AD、同步卫星的周期等于地球自转的周期，同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R+h）$，解得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$，A选项未计入地球半径，D选项周期应为地球自转周期，故A错误，D错误；
B、月球绕地球做周期为${T}_{1}^{\;}$的匀速圆周运动，$G\frac{M{m}_{月}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}r$，得地球质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故B正确；
C、地球表面物体重力等于万有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，得地球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，故C正确；
故选：BC

点评 解答万有引力定律在天体运动中的应用时要明确天体做匀速圆周运动，其受到的万有引力提供向心力，会用线速度、角速度、周期表示向心力，同时注意公式间的化简．