Question

6．如图所示，ab为平行金属板，其板面与纸面垂直，用导线与光滑的（电阻不计）足够长的平行金属轨道cd连接，轨道cd都垂直于匀强磁场，且与ab在同一平面内，阻值为R的电阻与cd相连，若磁感应强度为B，方向如图所示，a与b、c与d均相距为L，现有一根电阻为0.5R的金属棒MN紧贴在cd轨道上，在外力作用下，MN棒始终垂直于cd匀速滑动，要使一质量不计的带电粒子，在ab间以速度V₀水平向右作匀速直线运动，求：
（1）MN棒向什么方向运动？其速度大小为多少？
（2）作用在MN棒的力为多大？

Answer 1

分析 （1）若使小球做匀速运动，小球在金属板间受力必须平衡，假设小球带正电，洛伦兹力向上，而电场力应竖直向下，可判断出电容器极板的电性，由右手定则判断出金属棒ab的运动方向．根据欧姆定律得到板间电压与感应电动势的关系，对于小球，根据平衡条件列式，求解即可．
（2）为使ab上产生稳定电场，则MN上产生恒定的电动势，对MN受力分析，安培力应与外力相等，解出外力大小．

解答 解：（1）若使小球做匀速运动，小球在金属板间受力必须平衡，即：F_洛=F_电
假设粒子带正电，洛伦兹力向上，大小为：F_洛=Bqv₀，而电场力应竖直向下，大小为：F_电=Eq，电场方向向下，反之，粒子带负电电场方向也向下，即a板带正电，有右手定则可知MN向右运动，
因：F_洛=F_电，
得：Eq=Bv₀q，
根据闭合电路欧姆定律得：U=$\frac{E}{R+0.5R}×R$=$\frac{2}{3}BLv$，
根据电场强度和电势差的关系得：$E=\frac{U}{L}$，
联立解得：$v=\frac{3}{2}{v}_{0}$
（2）因粒子所受洛伦兹力大小恒定，则ab间产生稳定电场，则MN上产生恒定的电动势，对MN受力分析，安培力应与外力相等，即：
F=F_安=$BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}V}{R+0.5R}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$，
答：（1）MN棒向右运动，其速度大小为$\frac{3}{2}{v}_{0}$
（2）作用在MN棒的力为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$．

点评 本题是电磁感应和电路的综合，考察了洛伦兹力和电场力及电势差和电场强度关系，应根据牛顿第二定律求解．