Question

6．如图所示，从 A点以v₀的水平速度抛出一质量m=1kg的小物块（可视为质点），当小物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定的光滑圆弧轨道BC，圆弧轨道BC的圆心角α=37°经圆孤轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平．已知长木板的质量M=4kg，A、B两点距C点的高度分别为H=0.6m、h=0.15m，小物块与长木板之间的动摩擦因数μ₁=0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ₂=0.2，Cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）小物块水平抛出时，初速度v₀的大小；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力大小；
（3）长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板？

Answer 1

分析 （1）已知平抛的抛出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用运动的合成与分解求解；
（2）小物块在BC间做圆周运动运动，在C点时轨道支持力和重力的合力提供圆周运动的向心力，据此求解即可；
（3）根据物块在长木板上滑动时，物块的位移-长木板的位移应该小于等于长木板的长度这一临界条件展开讨论即可．

解答 解：
（1）设小物块做平抛运动的时间为t，则有：
H-h=$\frac{1}{2}$gt²
设小物块到达B点时竖直分速度为v_y：v_y=gt，
由以上两式解得：v_y=3 m/s      
由题意，速度方向与水平面的夹角为37°，tan 37°=$\frac{v_y}{v_0}$，解得v₀=4 m/s    
则小物块运动到B点时的速度
v₁=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=5 m/s
（2）设小物块到达C点时速度为v₂，从B至C点，由动能定理得$mgh=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$
设C点受到的支持力为F_N，则有
F_N-mg=$\frac{mv_2^2}{R}$（1分）
由几何关系得Cosθ=$\frac{R-h}{R}$
由上式可得R=0.75m，v₂=2$\sqrt{7}$ m/s，F_N=47.3 N
根据牛顿第三定律可知，小物块对圆弧轨道C点的压力大小为47.3 N     
（3）由题意可知小物块对长木板的摩擦力F_f1=μ₁mg=5 N
长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力
F_f′2=μ₂（M+m）g=10 N
因F_f1＜F_f′2，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动             
设小物块在长木板上做匀减速运动，至长木板最右端时速度刚好为0
则长木板长度为l=$\frac{v_2^2}{{2{μ_1}g}}$=2.8 m
所以长木板至少为2.8 m，才能保证小物块不滑出长木板．              
答：（1）小物块水平抛出时，初速度v₀的大小5 m/s；
（2）小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力大小47.3 N；
（3）长木板至少为2.8 m，才能保证小物块不滑出长木板

点评 本题关键要理清物块在多个不同运动过程中的运动规律，掌握物块各个阶段的运动规律是解决本题的关键．