Question

19．如图（1）所示是根据某平抛运动轨迹制成的内壁光滑的圆管轨道，轨道上端与水平面相切．实验得到进入圆管上端时的水平速度v₀的平方和离开圆管时速度的水平分量v_x的平方的关系如图（2）所示．一质量为m=0.5kg、体积很小的滑块静止在距离管口L=1m处，滑块与水平面间的动擦因数为μ=0.25．
（1）当滑块以水平速度v₀=2$\sqrt{3}$m/s从轨道进入后，离开轨道时的水平速度是多大？
（2）用大小为F=5N的水平恒力在水平面上拉动滑块一段距离x后撤去F，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，求x的取值范围．
（3）当滑块以水平速度v₀=4m/s从轨道顶端进入后，当其到达轨道底部时的速度大小是多少？

Answer 1

分析 （1）由图象求出图象的函数表达式，然后将初速度代入求出开轨道时的水平速度；
（2）水平恒力在水平面上拉动滑块的过程，根据动能定理列式得到滑块进入管道时水平速度v，由图象可知，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，解出x的取值范围．
（3）滑块在管道中运动过程机械能守恒，结合图象，求解到达轨道底部时的速度．

解答 解：（1）由图象可得，方程为：${v}_x^2=0.5{v}_0^2+10$，
将v₀=2$\sqrt{3}$m/s带入方程，解得：v_x=4m/s；
（2）当v₀=$2\sqrt{5}$m/s时，v_x=v₀，
当0＜v₀＜$2\sqrt{5}$m/s时，水平分速度v_x不断增大．
动能定理：$F•x-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_0^2-0$，
解出0.25m＜x＜1.25m，故：1m＞x＞0.25m；
（3）滑块在轨道中运动时机械能守恒，
根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v^2}$=mgh+$\frac{1}{2}mv_0^2$，
因为平抛轨道是确定的，高度也是确定的，v和v_x的夹角是确定的，设v=nv_x
（nv_x）²=mgh+$\frac{1}{2}mv_0^2$，${v_x}=\frac{2gh}{n^2}$+$\frac{v_0^2}{n^2}$，
由图象可得：$\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2}$，$\frac{2gh}{n^2}$=10，${v^2}=20+v_0^2$$v=\sqrt{20+16}=6m/s$；
答：（1）当滑块以水平速度v₀=2$\sqrt{3}$m/s从轨道进入后，离开轨道时的水平速度是4m/s；
（2）用大小为F=5N的水平恒力在水平面上拉动滑块一段距离x后撤去F，要使滑块进入圆管轨道后在轨道内运动过程中水平分速度不断增大，x的取值范围是1m＞x＞0.25m．
（3）当滑块以水平速度v₀=4m/s从轨道顶端进入后，当其到达轨道底部时的速度大小是6m/s．

点评 本题关键是运用数学知识解决物理问题，充分利用图象的信息，结合机械能守恒和数学知识进行求解．