题目内容
11．
如图所示，足够长的粗糙金属导轨POQ，夹角∠POQ=60°，PO=OQ，P、Q两端点均在水平面上，导轨平面与水平面的夹角为α．质量为m的匀质金属杆MN垂直于∠POQ的角平分线对称放置在导轨上，其重心在角平分线上．金属杆和导轨单位长度的电阻均为r，且始终保持良好接触．若用大小F=2mgsinα、方向沿∠POQ的角平分线向上的力F作用在金属杆MN的重心点上，金属杆恰可沿力F的方向匀速向上运动．撤去力F后，给导轨处加上一个区域足够大的磁感应强度为B的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于导轨平面．初始时刻金属杆到O点的距离为a，给金属杆一个沿∠POQ角平分线向下的初速度v0．求：（不计感应电流之间的相互作用）（1）金属杆与导轨间的动摩擦因数μ．
（2）初始时刻，金属杆上的感应电流的大小I0．
（3）金属杆向下滑行的距离x．
分析 （1）有F作用时，金属杆恰可沿力F的方向匀速向上运动，受力平衡，根据平衡条件列式，可求得动摩擦因数μ．
（2）根据公式E=BLv、欧姆定律求金属杆上的感应电流的大小I0．
（3）根据牛顿第二定律、安培力与速度的关系式，得出瞬时速度与瞬时加速度的关系，利用积分求金属杆向下滑行的距离x．
解答 解：（1）题设有 F=2mgsinα
有力F作用时金属杆处于平衡状态，有 F=mgsinα+μmgcosα
联立得 μ=tanα
（2）设初始时刻，金属杆的有效切割长度为l0，则有效电动势 E=El0v
回路电阻 R=3l0r
金属杆上的感应电流 I0=$\frac{E}{R}$=$\frac{B{v}_{0}}{3r}$
（3）设金属杆运动中的某时刻t，速度v，金属杆的有效切割长度为l，感应电流i
则 i=$\frac{E}{R}$=$\frac{Bv}{3r}$
此时，安培力 FA=Bil=$\frac{{B}^{2}lv}{3r}$
因mgsinα与μmgcosα 等大反向，合力等于安培力，金属杆减速滑下．
由牛顿第二定律得-$\frac{{B}^{2}lv}{3r}$=ma
两端同乘以极短运动时间△t得-$\frac{{B}^{2}lv}{3r}$△t=ma△t
其中lv△t表示在△t时间内金属杆在POQ间扫过的面积，a△t表示在△t时间内金属杆速度变化量
即-$\frac{{B}^{2}}{3r}$△S=m△v
累加各段得-$\frac{{B}^{2}}{3r}$[$\frac{1}{2}（x+a）^{2}tan30°-\frac{1}{2}{a}^{2}tan30°$]=m（0-v0）
解得金属杆向下滑行的距离 x=$\sqrt{\frac{6\sqrt{3}m{v}_{0}r}{{B}^{2}}+{a}^{2}}-a$
答：
（1）金属杆与导轨间的动摩擦因数μ是tanα．
（2）初始时刻，金属杆上的感应电流的大小I0是$\frac{B{v}_{0}}{3r}$．
（3）金属杆向下滑行的距离x是$\sqrt{\frac{6\sqrt{3}m{v}_{0}r}{{B}^{2}}+{a}^{2}}-a$．
点评 解决本题时，要正确分析金属杆的受力情况，运用牛顿第二定律得到速度与加速度的瞬时对应关系，采用积分的思想求非匀变速运动的位移．
| A． | 甲乙两物体同时出发 | B． | 当t=t2时，两物体速度相等 | ||
| C． | 乙物体的速度比甲物体的速度大 | D． | 甲、乙两物体运动方向相同 |
足够长的光滑水平导轨PC、QD与粗糙竖直导轨MC'、ND'之间用光滑的$\frac{1}{4}$圆弧导轨PM和QN连接，O为圆弧轨道的圆心，如图甲所示．已知导轨间距均为L=0.2m，圆弧导轨的半径为R=0.25m．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t的变化图象如图乙所示．水平导轨上的金属杆A1在外力作用下，从较远处以恒定速度v0=1m/s水平向右运动，金属杆A2从距圆弧顶端MN高H=0.4m处由静止释放．当t=0.4s时，撤去施于杆A1上的外力；随后的运动中杆A1始终在水平导轨上，且与A2未发生碰撞．已知金属杆A1、A2质量均为m=4.0×10-4kg，A2与竖直导轨间的动摩擦因数为μ=0.5．金属杆A1、A2的电阻均为r=5Ω，其余电阻忽略不计，重力加速度g=10m/s2．：
如图所示，ABCD为竖立放在场强为E=104 V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R=0.2m的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切，A为水平轨道上的一点，而且AB=3R=0.6m．把一质量m=0.1kg、带电量q=10-4C的小球，放在水平轨道的A点，由静止开始释放后在轨道的内侧运动．（g取10m/s2）求：
如图所示一等腰直角三角形中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，三角形腰长为2L，一个边长为L的导线框ABCD自右向左匀速通过该区域，则回路中A、C两点电势差UAC随时间的变化关系图象应为（ ）| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图所示，金属导轨MNC和PQD，MN与PQ平行且间距为L，所在平面与水平面夹角为α，N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值为R的电阻；光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角都为锐角θ．均匀金属棒ab和ef质量均为m，长均为L，ab棒初始位置在水平导轨上与NQ重合；ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ（μ较小），由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．空间有方向竖直的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨保持良好接触．不计所有导轨和ab棒的电阻，ef棒的阻值为R，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，忽略感应电流产生的磁场，重力加速度为g．
如图甲所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN，导轨的电阻均不计．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=4Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T，将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好．现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度，已知在此过程中通过金属棒截面的电量q=0.2C，且金属棒的加速度a与速度v的关系如图乙所示，设金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．（取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
如图所示，在虚线所示的宽度范围内，存在竖直向下的电场强度为E的匀强电场，某种正离子以初速度V0垂直于左边界射入，离开右边界时的偏转角为θ，在同样宽度范围内，若只存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，使该粒子以原来的初速度穿过该区域，偏转角扔为θ，（不计离子的重力），求：
如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形，∠EGF=30°，已知磁感应强度为B，方向垂直纸面向里．F处有一粒子源，沿FG方向发射出大量带正电荷q的同种粒子，粒子质量为m，粒子的初速度v0大小可调，则下列说法正确的是（ ）| A． | 若粒子能到达EG边界，则粒子速度越大，从F运动到EG边的时间越长 | |
| B． | v0取合适值，粒子可以到达E点 | |
| C． | 能到达EF边界的所有粒子所用的时间均相等 | |
| D． | 粒子从F运动到EG边所用的最长时间为$\frac{5πm}{12qB}$ |