Question

10．2010年6月21日正午时刻，在北半球的A城阳光与竖直方向成7.5°角下射，而在A城正南方，与A城的地面距离为L的B城，阳光恰好沿竖直方向下射，射到地球的太阳光可视为平行光，将地球视为均匀球体，忽略地球自转，用g表示地球表面的重力加速度，G表示引力常量，由此可估算出（　　）

• A． 地球半径R=$\frac{48L}{π}$
• B． 地球的平均密度ρ=$\frac{g}{32GL}$
• C． 地球第一宇宙速度的表达式v=$\sqrt{\frac{24gL}{π}}$
• D． 近地卫星的周期T=$\sqrt{\frac{96L}{g}}$

Answer 1

分析 在同一介质中是沿直线传播的，根据题意作出光路图，根据光路图，由几何知识得到L与地球半径的关系，即可求得地球半径；根据重力加速度公式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$求解地球的质量，根据牛顿第二定律求解第一宇宙速度和周期．

解答 解：A、作出示意图如图所示．

由题意得
A∥B
∠1=∠2=7.5°
L=2πR×$\frac{7.5°}{360°}$
可得R=$\frac{24}{π}$L，故A错误；
B、用g表示地球表面的重力加速度，根据公式g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，有：
M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
故密度：
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$=$\frac{g}{32GL}$；故B正确；
C、地球第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{24gL}{π}}$，故C正确；
D、对于近地卫星，有：
mg=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：
T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$=2π×$\sqrt{\frac{\frac{24}{π}L}{g}}$=$\sqrt{\frac{96πL}{g}}$；故D错误；
故选：BC．

点评 本题难点在于利用几何关系得到地球的半径，然后结合万有引力等于向心力，重力等于万有引力列式分析．