Question

16．如图所示，一个质量为m，带电量为+q的微粒，从a点以大小为v₀的初速度竖直向上射入水平方向的匀强电场中．微粒通过最高点b时的速度大小为2v₀方向水平向右．求：
（1）该匀强电场的场强大小E；
（2）a、b两点间的电势差U_ab；
（3）该微粒从a点到b点过程中的最小动能E_K．

Answer 1

分析 带电微粒受到重力及电场力作用，两力分别沿竖直方向和水平方向，将物体的运动分解为竖直方向和水平方向的两个分运动，抓住水平方向上做匀加速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式进行求解．

解答 解：（1）分析：沿竖直方向和水平方向建立直角坐标系，带电微粒受到重力及电场力作用，两力分别沿竖直方向和水平方向，将物体的运动分解为竖直方向和水平方向的两个分运动：
在竖直方向物体做匀减速运动，加速度a_y=g，
在水平方向物体做匀加速运动，初速度为0，加速度a_x=$\frac{qE}{m}$
b点是最高点，竖直分速度为0，在竖直方向有：v₀=g t；
在水平方向有：2v₀=$\frac{qE}{m}t$
联立以上两式得：E=$\frac{2mg}{q}$
（2）水平位移：x=$\overline{v}t$=v₀．t=$\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$     
ab两点间的电势差：U_ab=E•x=$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$
（3）设重力与电场力的合力为F，其与水平方向的夹角为θ，
则：tanθ=$\frac{mg}{qE}$=$\frac{1}{2}$
如图所示，开始一段时间内，F与速度方向夹角大于90°，合力做负功，动能减小，后来F与速度夹角小于90°，合力做正功，动能增加，因此，当F与速度v的方向垂直时，小球的动能最小，速度也最小，设为v_min．

即：tanθ=$\frac{{v}_{x}^{\;}}{{v}_{y}^{\;}}$
v_x=$\frac{qE}{m}t$=2gt
${v}_{y}^{\;}={v}_{0}^{\;}-gt$
联立以上三式得：t=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{5g}$，v_x=$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{5}$，v_y=$\frac{4{v}_{0}^{\;}}{5}$
所以最小速度：v_min=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}{v}_{0}^{\;}$
所以最小动能${E}_{K}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}=\frac{2}{5}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）该匀强电场的场强大小E为$\frac{2mg}{q}$；
（2）a、b两点间的电势差${U}_{ab}^{\;}$为$\frac{2m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（3）该微粒从a点到b点过程中的最小动能${E}_{K}^{\;}$为$\frac{2}{5}m{v}_{0}^{2}$

点评 本题考查灵活选择处理曲线运动的能力．小球在水平和竖直两个方向受到的都是恒力，运用运动的合成与分解法研究是常用的思路．