Question

8．如图所示，斜面上有一质量M=1kg的足够长的木板，木板下端放置一质量m=1kg的木块，斜面的倾角θ=37°，木板M与斜面间的动摩擦因数μ₁=$\frac{1}{4}$，物块m与M间的动摩擦因数μ₂=$\frac{3}{4}$．现使M和m获得一共同向上的初速度v₀=16m/s，M的上端离挡版的距离x=12m，木板和挡板碰撞后木板被等速反弹回来．（g取10m/s²）
（1）物块和木板上滑时，求M与m间的摩擦力f及木板与挡板碰撞时的速度v₁．
（2）求木板与挡板碰撞后到M和m速度相同时经历的时间．

Answer 1

分析 （1）将物块和木板视为整体，根据牛顿第二定律可求得整体的加速度，再对m分析根据牛顿第二定律即可求得摩擦力；根据速度位移公式即可求得碰撞前的速度；
（2）碰后木板向下运动，木块继续向上运动，分别对它们受力分析，根据牛顿第二定律求得加速度，再求出木块速度减为零所需要的时间；再对此后的过程受力分析，根据牛顿第二定律求解加速度，再明确二者的运动情况，由速度公式可求得时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）物块和木板上滑时，将物块和木板看成一个整体，根据牛顿第二定律有
$（M+m）gsin37°+{μ}_{1}^{\;}（M+m）gcos37°$=$（M+m）{a}_{1}^{\;}$
解得：${a}_{1}^{\;}=gsin37°+{μ}_{1}^{\;}gcos37°°$=$8m/{s}_{\;}^{2}$
对m：$f-mgsin37°=m{a}_{1}^{\;}$
代入解得：$f=mgsin37°+m{a}_{1}^{\;}=14N$
根据速度位移公式，有${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}=2{a}_{1}^{\;}x$
代入${v}_{1}^{2}-1{6}_{\;}^{2}=2×（-8）×12$
解得：${v}_{1}^{\;}=8m/s$
（2）木板与挡板碰撞后向下运动，而木块相对木板向上运动
对木块：${μ}_{2}^{\;}mgcos37°+mgsin37°=m{a}_{2}^{\;}$
解得：${a}_{2}^{\;}={μ}_{2}^{\;}gcos37°+gsin37°=12m/{s}_{\;}^{2}$
对木板：${μ}_{1}^{\;}（M+m）gcos37°+{μ}_{2}^{\;}mgcos37°$$-Mgsin37°=M{a}_{3}^{\;}$
解得：${a}_{3}^{\;}=4m/{s}_{\;}^{2}$
设经过时间t木块速度减为0$，0={v}_{1}^{\;}-{a}_{2}^{\;}t$
解：$t=\frac{2}{3}s$
木板速度${v}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}-{a}_{3}^{\;}t=8-4×\frac{2}{3}=\frac{16}{3}m/s$
对木块：$mgsin37°-{μ}_{2}^{\;}mgcos37°=m{a}_{4}^{\;}$
解得${a}_{4}^{\;}=0$
对木板：${μ}_{2}^{\;}mgcos37°+Mgsin37°-{μ}_{1}^{\;}（M+m）$gcos37°=M${a}_{5}^{\;}$
解得：${a}_{5}^{\;}=8m/{s}_{\;}^{2}$
当木板速度减小到零所需要的时间t'=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{5}}$=$\frac{\frac{16}{3}}{8}$=$\frac{2}{3}$s；
故达到最大速度的时间t_总=t+t’=2×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$s；
答：（1）物块和木板上滑时，求M与m间的摩擦力f及木板与挡板碰撞时的速度v₁为14N和8m/s；
（2）求木板与挡板碰撞后到M和m速度相同时经历的时间为$\frac{4}{3}$s

点评 本题考查牛顿第二定律关于连接体问题的分析，要注意正确受力分析，明确运动过程，再根据运动学公式进行分析，从而正确选择物理规律求解；不过此类问题中涉及的物体和过程较多，故应细心分析，明确全过程，对学生思维能力要求较高．