Question

9．如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为d，导轨平面与水平面的夹角α=30°，导轨电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上．长为d的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m、电阻为R．两金属导轨的上端连接右侧电路，灯泡的电阻R_L=3R，电阻箱电阻调到R′=6R，重力加速度为g．现闭合开关S，给金属棒施加一个方向垂直于杆且平行于导轨平面向上的、大小为F=mg的恒力，使金属棒由静止开始运动．
①求金属棒能达到的最大速度；
②若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热；
③若改变R′的阻值，当R′为何值时，在金属棒达到最大速度后，R′消耗的功率最大？消耗的最大功率为多少？

Answer 1

分析 ①当金属棒达到最大速度时，做匀速直线运动，由平衡条件和安培力公式可求出电路中的电流，由感应电动势公式E=BLv和欧姆定律结合求解最大速度；
②根据能量守恒定律和焦耳定律求解金属棒上产生的电热；
③根据电功率的计算公式推导R′消耗的功率与R′的关系，根据数学知识求解R′的取值，再求出R′消耗的最大功率．

解答 解：①当金属棒达到最大速度时，做匀速直线运动，由平衡条件得：F=BId+mgsin30°，
灯泡和电阻箱并联的电阻为R_并=$\frac{{R}_{L}R′}{{R}_{L}+R′}=\frac{3R×6R}{3R+6R}=2R$，
回路总电阻R_总=R+R_并=3R；
又F=mg，BId=$\frac{{B}^{2}{d}^{2}{v}_{m}}{3R}$，
解得v_m=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{d}^{2}}$；
②设整个过程中电路产生的电热为Q，根据能量守恒定律可得：
F•4L=Q+mgsinα•4L+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，
根据能量分配关系可得：$\frac{R}{{R}_{总}}=\frac{1}{3}$，
所以Q_并=$\frac{1}{3}Q$=$\frac{2}{3}mgL-\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{d}^{4}}$；
③R′上消耗的电功率为P′=I′²R′，
灯泡和电阻箱并联的电阻为R′_并=$\frac{{R}_{L}R′}{{R}_{L}+R′}=\frac{3RR′}{3R+R′}$，
又由于I′R′=IR_并，
而根据平衡条件可得F=BId+mgsin30°，解得I=$\frac{mg}{2Bd}$，
所以I′=$\frac{3R}{3R+R′}$I=$\frac{3mgR}{2（3R+R′）Bd}$，
联立解得P′=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}{d}^{2}}•\frac{9{R}^{2}R′}{（3R+R′）^{2}}$=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4{B}^{2}{d}^{2}}•\frac{9{R}^{2}}{\frac{9{R}^{2}}{R′}+6R+R′}$，
由数学知识可得，当$\frac{9{R}^{2}}{R′}=R′$时，即R′=3R时消耗的功率最大，
最大功率P′_m=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{d}^{2}}$．
答：①金属棒能达到的最大速度为$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{d}^{2}}$；
②若金属棒上滑距离为L时速度恰达到最大，则金属棒由静止开始上滑4L的过程中，金属棒上产生的电热为$\frac{2}{3}mgL-\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{d}^{4}}$；
③若改变R′的阻值，当R′=3R时，在金属棒达到最大速度后，R′消耗的功率最大，消耗的最大功率为$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．