Question

15．如图1所示，在x0y坐标系中，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，紧靠极板的右边缘的有界匀强磁场区域由△AB0和矩形0BCD构成，其中∠0AB=60°，0D=OA．磁场方向垂直于x0y平面向里，D、A位于y轴上．位于极板左侧的粒子源沿x轴向右接连发射质量为m，、电荷量为+q、速度相同的带电粒子，现在0～3t₀时间内两板间加上如图2所示的电压，已知t=0时刻进入两板间的粒子，在t₀时刻射入磁场时，恰好不会从磁场边界射出磁场区域且圆心在x轴上，上述l、m、q、t₀为已知量，U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{{t}_{0}}^{2}}$，不考虑P、Q两板电压的变化对磁场的影响，也不考虑粒子的重力及粒子间的相互影响，求：
（1）t=0时刻进入两板间的带电粒子射入磁场时的速度；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小及磁场区域的面积；
（3）t=t₀时刻进入两板间的带电粒子在匀强磁场中运动的时间．

Answer 1

分析 （1）t=0时刻进入电场的粒子t₀时刻刚好射出电场，做类似平抛运动，根据类似平抛运动的分运动公式列式求解即可；
（2）t=0时刻进入两板间的粒子恰好在t0时刻射入磁场、且恰好不会从边界HG、FG射出磁场区域；画出临界轨迹，然后结合几何关系求解出半径；最后根据洛伦兹力提供向心力列式求解出匀强磁场的磁感应强度；
（3）t₀时刻进入极板的带电粒子在两个极板间做匀速直线运动，在2t₀时刻沿着x方向进入磁场，进入磁场后做匀速圆周运动；画出运动轨迹，然后根据t=$\frac{θ}{2π}T$和T=$\frac{2πm}{Bq}$求解时间．

解答 解：（1）t=0时刻进入电场的粒子t₀时刻刚好射出电场
带电粒子沿着x轴分速度大小为：v₀=$\frac{l}{{t}_{0}}$，
y轴负方向偏移距离：y=$\frac{1}{2}•\frac{q{U}_{0}}{ml}•{{t}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}l$
粒子离开电场沿y轴负方向分速度为v_y，则有：$\frac{1}{2}l=\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{0}$
射入磁场的速度大小$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，与y轴夹角为45°；
（2）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R₁，由几何关系得：
${R}_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}l$，
则OA=$\frac{{R}_{1}}{tan30°}=\frac{\sqrt{6}l}{2}$，OB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}l$，
$Bq{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：$B=\frac{2m}{q{t}_{0}}$，
磁场的面积S=$（\frac{1}{2}+1）×\frac{\sqrt{6}l}{2}×\frac{3\sqrt{2}l}{2}=\frac{9\sqrt{3}{l}^{2}}{4}$
（3）t₀时刻进入极板的带电粒子在两个极板间做匀速直线运动，在2t₀时刻沿着x方向进入磁场，进入磁场后做匀速圆周运动，设半径为R₂；
${R}_{2}=\frac{l}{2}$，
$T=\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{0}}=π{t}_{0}$，
设AD=a，则有：
$2{R}_{1}+\frac{l}{2}=asin60°$，$a=\frac{2\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}t$，
因为（$\frac{a}{2}-{R}_{2}$）sin60°＞R₂，粒子不会从PG边射出磁场，粒子在磁场中运动时间：
t=$\frac{T}{2}=\frac{π{t}_{0}}{2}$
答：（1）t=0时刻进入两板间的带电粒子射入磁场时的速度大小为$\frac{\sqrt{2}l}{{t}_{0}}$，与y轴夹角为45°；
（2）匀强磁场的磁感应强度的大小为$\frac{2m}{q{t}_{0}}$，磁场区域的面积为$\frac{9\sqrt{3}{l}^{2}}{4}$；
（3）t=t₀时刻进入两板间的带电粒子在匀强磁场中运动的时间为$\frac{π{t}_{0}}{2}$．

点评 本题关键明确粒子的运动规律，然后分类似平抛运动和匀速圆周运动过程列式求解，磁场中运动注意画出临界轨迹，结合几何关系求解半径