Question

16．如图所示，一个质量为M，长为L的圆管竖直放置，顶端塞有一个质量为m的弹性小球，M=4m，球和管间的滑动摩擦力与最大静摩擦力大小均为4mg，管下端离地面高度H=5m．现让管自由下落，运动过程中管始终保持竖直，落地时向上弹起的速度与落地时速度大小相等，若管第一次弹起上升过程中，球恰好没有从管中滑出，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²求：
（1）管第一次落地弹起刚离开地面时管与球的加速度分别多大？
（2）从管第一次落地弹起到球与管达到相同速度时所用的时间．
（3）圆管的长度L．

Answer 1

分析 （1）由运动学公式求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度；
（2）分别对管和球进行分析，由运动学公式可求得时间；
（3）根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即为管的至少长度．

解答 解：（1）管第一次落地弹起时，管的加速度大小为a₁，球的加速度大小为a₂
由牛顿第二定律
对管Mg+4mg=Ma₁…（1）
对球4mg-mg=ma₂…（2）
故${a_1}=20m/{s^2}$，方向向下…（3）
${a_2}=30m/{s^2}$方向向上…（4）
（2）球与管第一次碰地时，
由${v_0}=\sqrt{2gH}$…（5）
得碰后管速${v_1}=\sqrt{2gH}$，方向向上…（6）
碰后球速${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下…（7）
球刚好没有从管中滑出，设经过时间t，球、管速度相同，则有
对管v=v₁-a₁t…（8）
对球v=-v₂+a₂t…（9）
代入数值联立解得t=0.4s…（10）
（3）管经t时间上升的高度为${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$…（11）
球下降的高度${h_2}={v_2}t-\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$…（12）
管长L=h₁+h₂=4m…（13）
答：（1）管第一次落地弹起刚离开地面时管与球的加速度分别20m/s²和30m/s²；
（2）从管第一次落地弹起到球与管达到相同速度时所用的时间为0.4s．
（3）圆管的长度L为4m

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．