Question

14．坐标原点O处有一点状的放射源，它向xoy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小都是v₀，在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q和m分别为α粒子的电量和质量；在d＜x＜4d的区域内分布有垂直于xoy平面的匀强磁场．Ab为一块很大的平面感光板，放置于y=4d处，如图所示．观察发现此时恰无粒子打到ab板上．不考虑α粒子的重力．求：
（1）α粒子刚进入磁场时的动能．
（2）磁感应强度B的大小．
（3）将ab板平移到什么位置时所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度为多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的动能．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答 解：（1）根据动能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得α粒子刚进入磁场时的动能  E_k=$\frac{1}{2}$mv²=Eqd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$•qd+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2$m{v}_{0}^{2}$
（2）根据上题结果可知v=2v₀，对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方向夹角 θ=$\frac{π}{3}$，其在电场中沿x方向的位移 x₁=v₀t
又 d=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
联立得 x₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}d$
，易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，可得其圆周运动的半径应满足：r+rcos$\frac{π}{3}$=3d，r=2d
又根据洛伦兹力提供向心力，则有 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得 B=$\frac{mv}{qr}$=$\frac{2m{v}_{0}}{q•2d}$=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$
（3）易知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．由图可知此时磁场宽度为原来的$\frac{1}{3}$，
即当ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置时，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中区域的长度 L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d
答：（1）α粒子刚进人磁场时的动能为2mv₀²．
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{m{v}_{0}}{qd}$．
（3）当ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置时，恰好所有粒子均能打到板上，打中区域的长度为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+2d．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．