Question

3．如图所示，质量为m的小球被系在轻绳的一端，以O为圆心在竖直平面内做半径为R的圆周运动．运动过程中，小球受到空气阻力的作用．设某时刻小球通过圆周的最低点A，此时绳子的张力为10mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点B．
（1）小球经过B点时的速度为多少？动能为多少？
（2）小球经过A点时的速度为多少？动能为多少？
（3）从位置A运动到位置B的过程中，重力做功是多少？
（4）从位置A运动到位置B的过程中，动能变化了多少？外力对物体所做的总功为多少？
（5）从位置A运动到位置B的过程中，空气阻力对小球做了多少功？小球克服空气阻力做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）恰能通过最高点B，则有mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$求出速度，根据动能表达式求解动能；
（2）根据牛顿运动定律求解速度，根据动能表达式求解动能；
（3）重力做功W=mgh
（4）动能变化△E_k=E_kB-E_kA，根据动能定理知外力对物体所做的总功为W_总=△E_k．
（5）从位置A运动到位置B的过程中，W_总=W_G+W_f知阻力做功．

解答 解：（1）恰能通过最高点B，则有：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
动能为：E_kB=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgR
（2）小球通过圆周的最低点A，此时绳子的张力为10mg，根据牛顿运动定律知：
F-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=3$\sqrt{gR}$
动能为：E_kA=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{9}{2}mgR$
（3）从位置A运动到位置B的过程中，重力做功为：W_G=-mg•2R=-2mgR
（4）从位置A运动到位置B的过程中，动能变化为：△E_k=E_kB-E_kA=-4mgR
根据动能定理知外力对物体所做的总功为：W_总=△E_k=-4mgR
（5）从位置A运动到位置B的过程中，有：W_总=W_G+W_f
空气阻力对小球做功为：W_f=-2mgR，
即小球克服空气阻力做的功是2mgR．
答：（1）小球经过B点时的速度为$\sqrt{gR}$，动能为$\frac{1}{2}$mgR；
（2）小球经过A点时的速度为3$\sqrt{gR}$，动能为$\frac{9}{2}$mgR；
（3）从位置A运动到位置B的过程中，重力做功是-2mgR；
（4）从位置A运动到位置B的过程中，动能变化了-4mgR，外力对物体所做的总功为-4mgR；
（5）从位置A运动到位置B的过程中，空气阻力对小球做了-2mgR；小球克服空气阻力做的功是2mgR．

点评 此题考查牛顿运动定律和动能定理、功的计算注意正负，属于基础题，要求学生熟练掌握基本知识．