Question

15．有一种“质谱仪”，由加速电场、静电分析器和电检测器组成，如图所示，静电分析器的通道中心线是半径为L的$\frac{1}{4}$圆弧，通道内内有均匀辐射电场且中心线的电场强度为E₁（大小可调节）．检测电场为有理想边界水平向左的匀强电场，场强E₂=$\frac{4{U}_{0}}{L}$，分布在水平直线AB下方及倾斜直线AC的左侧区域，AC与水平成θ角，tanθ=2，贴近边界AC有一长度为2L的荧光屏可记录离子打荧光屏上的位置．离子放射源O释放质量为m，带电量为q的负离子流（初速不计），经电压为U的电场加速后离子流总能沿中心线通过静电分析器，离子离开静电分析器从A点垂直检测电场E₂，不计离子的重力及离子间的相互作用．
（1）试确定静电分析器中心线处的电场强度E₁与加速电压U的关系；
（2）如果加速电压U在0.8U₀≤U≤1.2U₀范围内变化，通过控制辐射电场E₁总能让离子沿中心线运动从A点射入电场，求荧光屏上记录线长度；
（3）在满足（2）的情况下，如果将荧光屏绕A点逆时针方向转动，试确定荧光屏上记录线的最大长度．

Answer 1

分析 （1）离子在加速电场中加速时，电场力做功，动能增加，根据动能定理列出方程；粒子进入静电分析器，靠电场力提供向心力，结合牛顿第二定律列出方程，即可求出电场强度E₁与加速电压U的关系．
（2）离子进入下面的电场区域的后做类平抛运动，将其进行正交分解，由牛顿第二定律和运动学公式结合，可求解．
（3）结合（2）的分析，讨论不同的条件下荧光屏上记录线长度的最大值的条件与对应的数值即可．

解答 解：（1）离子在加速电场中加速，由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由牛顿第二定律得：qE₁=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：U=$\frac{1}{2}$E₁R；
（2）离子在电场E₂中做类平抛运动，
竖直方向：y=vt…②
水平方向：x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}\frac{q{E}_{2}}{m}•{t}^{2}$…③
又：$\frac{y}{x}=tanθ$…④
联立②③④得：$t=\frac{2mv}{q{E}_{2}•tanθ}=\frac{2mv}{q•\frac{4{U}_{0}}{L}×2}=\frac{mvL}{4q{U}_{0}}$…⑤
所以：x=$\frac{m{v}^{2}L}{8q{U}_{0}}$，y=$\frac{m{v}^{2}L}{4q{U}_{0}}$…⑥
联系①式，将0.8U₀≤U≤1.2U₀代入⑥可得：0.2L≤x≤0.3L；0.4L≤y≤0.6L
所以离A点最近的点的距离：${s}_{min}=\sqrt{{（0.2L）}^{2}+{（0.4L）}^{2}}=0.2\sqrt{5}L$
离A点最远的点：${s}_{max}=\sqrt{{（0.3L）}^{2}+{（0.6L）}^{2}}=0.3\sqrt{5}L$
则荧光屏上记录线长度为：$s={s}_{max}-{s}_{min}=0.1\sqrt{5}L$
（3）如果将荧光屏绕A点逆时针方向转动，则屏与电场方向之间的夹角为α，则由⑤得：
t=$\frac{mvL}{2tanα•q{U}_{0}}$
分别代入②和③得：x=$\frac{m{v}^{2}L}{4tanα•q{U}_{0}}$，y=$\frac{m{v}^{2}L}{2tanα•q{U}_{0}}$…⑦
联系①式，将0.8U₀≤U≤1.2U₀代入⑦可得：$\frac{0.2L}{tanα}$≤x≤$\frac{0.3L}{tanα}$；$\frac{0.4L}{tanα}$≤y≤$\frac{0.6L}{tanα}$
所以离A点最近的点的距离：${s}_{min}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{tanα}$…⑧
离A点最远的点：${s}_{max}=\sqrt{{（0.3L）}^{2}+{（0.6L）}^{2}}=\frac{0.6\sqrt{5}L}{tanα}$…⑨
由题意，当离A点的最大距离等于荧光屏的长度2L时，则：$\frac{0.6\sqrt{5}L}{tanα}=2L$
所以：tanα=$\frac{0.6\sqrt{5}L}{2L}=0.3\sqrt{5}$
所以：${s}_{min}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{tanα}=\frac{0.4\sqrt{5}L}{0.3\sqrt{5}}=\frac{4}{3}L$
则荧光屏上记录线长度为：${s}_{MAX}=2L-\frac{4}{3}L=\frac{2}{3}L$
答：（1）静电分析器中心线处的电场强度E₁与加速电压U的关系为U=$\frac{1}{2}$E₁R；
（2）如果加速电压U在0.8U₀≤U≤1.2U₀范围内变化，通过控制辐射电场E₁总能让离子沿中心线运动从A点射入电场，荧光屏上记录线长度是$0.1\sqrt{5}L$；
（3）在满足（2）的情况下，如果将荧光屏绕A点逆时针方向转动，荧光屏上记录线的最大长度是$\frac{2}{3}L$．

点评 对于带电粒子在电场中加速过程，往往运用动能定理研究加速电压与速度的关系；对于电场中偏转问题，运动的分解是常用方法．