Question

20．（1）如图，在水平地面上固定一个内侧长为L、质量为M的薄壁箱子．光滑的物块B的质量为m，长为$\frac{L}{2}$，其左端有一光滑小槽，槽内装有轻质弹簧．开始时，使B紧贴A₁壁，弹簧处于压缩状态，其弹性势能为E_P．现突然释放弹簧，滑块B被弹开．假设弹簧的压缩量较小，恢复形变所用的时间可以忽略．求滑块B到达A₂壁所用的时间．
（2）a．现将箱子置于光滑的水平地面上而不固定，仍使B紧贴A₁壁，弹簧处于压缩状态，其弹性势能为E_P，整个系统处于静止状态．现突然释放弹簧，滑块B离开A₁壁后，弹簧脱落并被迅速拿出箱子．求此时滑块B的速度v与箱子的速度V．
b．假设滑块B在与A₁壁和A₂壁的碰撞过程中无机械能损失．试定量描述滑块B相对于地面运动的速度变化情况，并计算两次碰撞之间的时间间隔．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律求出滑块被弹簧弹开时的速度，结合位移和速度求出滑块B到达A₂壁所用的时间．
（2）a、箱子和滑块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出滑块B的速度v与箱子的速度V．
b、结合动量守恒定律和能量守恒定律求出第一次碰撞后箱子和滑块的速度大小，滑块B与A₂碰撞后，滑块B与箱子速度的大小不变，只改变方向．当滑块B再与A₁碰撞后，各自的速度大小不变，只改变方向．滑块B相对于地面以大小为变的速度做匀速运动．

解答 解：（1）当箱子固定时，弹簧的弹性势能释放转化为滑块B的动能，设滑块速度v₀
${E_P}=\frac{1}{2}mv_0^2$…①
滑块B到达A₂壁所用的时间为：${t_0}=\frac{{L-\frac{L}{2}}}{v_0}=\frac{L}{{4{E_P}}}\sqrt{2m{E_P}}$…②
（2）a．箱子置于光滑的水平地面上，弹簧释放后，箱子与滑块B的速度分别设为V和v，以向右为正方向，有：mv+MV=0…③
${E_P}=\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}M{V^2}$…④
解得：$v=\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$…⑤
$V=-\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$…⑥
另解：${v_1}=-\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}{V_1}=\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$舍弃    
b．当滑块B与A₂发生第一次碰撞后，箱子的速度为变V₁，滑块B的速度变为v₁
mv₁+MV₁=mv+MV=0…⑦
$\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}MV_1^2=\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{1}{2}M{V^2}={E_P}$…⑧
解得：${v_1}=-\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$…⑨
${V_1}=\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$…⑩
另解：${v_1}=\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}{V_1}=-\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}$舍弃
由结果可以知道，滑块B与A₂碰撞后，滑块B与箱子速度的大小不变，只改变方向．
同理，当滑块B再与A₁碰撞后，各自的速度大小不变，只改变方向．滑块B相对于地面以大小为变的速度$\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}$做往返运动．
滑块B两次碰撞之间的时间间隔为：$T=\frac{{\frac{L}{2}}}{{|{v_1}|+|{V_1}|}}=\frac{{\frac{L}{2}}}{{\sqrt{\frac{{2M{E_P}}}{m（M+m）}}+\sqrt{\frac{{2m{E_P}}}{M（M+m）}}}}=L\sqrt{\frac{Mm}{{8{E_P}（M+m）}}}$．
答：（1）滑块B到达A₂壁所用的时间为$\frac{L}{4{E}_{p}}\sqrt{2m{E}_{p}}$．
（2）a、滑块B的速度v与箱子的速度V分别为$-\sqrt{\frac{2M{E}_{P}}{m（M+m）}}$、$\sqrt{\frac{2m{E}_{p}}{M（M+m）}}$．
b、两次碰撞之间的时间间隔为$L\sqrt{\frac{Mm}{8{E}_{p}（M+m）}}$．

点评 本题考查了考查了动量守恒定律和能量守恒定律，第二题的第二问难度较大，关键要理清箱子和滑块的运动规律，运用动量和能量综合求解．