Question

12．如图是一个示波管工作原理图，初速度为零的电子经电压为U₁的电场加速后由偏转板中线垂直进入偏转电场，两平行板间的距离为d，板长L₁，偏转电压为U₂．S为屏，与极板垂直，到极板的距离L₂．已知电子电量q，电子质量m．不计电子所受的重力．

（1）电子进入偏转电场的速度v₀是多少？
（2）电子离开偏转电场时的偏转量y₁为多少？（用U₁、U₂、d、L₁表示）
（3）电子到达屏S上时，它离O点的距离y是多少？（用U₁、U₂、d、L₁、L₂表示）
（4）如果加速场电压U₁可调，为保证电子能打在S屏上，求电压U₁的取值范围（用U₁、U₂、d、L₁表示）

Answer 1

分析 根据动能定理求出电子进入偏转电场的速度．电子进入偏转电场后，做类平抛运动，在沿电场方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据运动学公式，求出偏转量．电子出偏转电场后，做匀速直线运动，电子到达屏上距离O点的距离等于在偏转电场中的偏转量与出电场匀速直线运动在竖直方向上的位移之和．也可用相似比直接求距离，因为作电子出偏转电场速度的反向延长线，必然经过偏转电场轴线的中点．

解答 解：（1）设电子经加速电场U₁加速后以速度v₀进入偏转电场，由动能定理有
$q{U}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}^{\;}}{m}}$                             
（2）进入偏转电场后在电场线方向有$a=\frac{q{U}_{2}^{\;}}{md}$，
经时间t₁飞出电场有${t}_{1}^{\;}=\frac{{L}_{1}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$，飞出电场时偏转量为${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
由以上各式得${y}_{1}^{\;}=\frac{{U}_{1}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}$
（3）设电子从偏转场穿出时，沿y方向的速度为v_y，穿出后到达屏S所经历的时间为t₂，在此时间内电子在y方向移动的距离为y₂，有
${v}_{y}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}$           ${t}_{2}^{\;}=\frac{{L}_{2}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$              ${y}_{2}^{\;}={v}_{y}^{\;}{t}_{2}^{\;}$             
由以上各式得   ${y}_{2}^{\;}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{2d{U}_{1}^{\;}}$             
$y={y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{4d{U}_{1}^{\;}}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）$
也可用相似比直接求y．即：$\frac{y}{{y}_{1}^{\;}}=\frac{\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}+{L}_{2}^{\;}}{\frac{{L}_{1}^{\;}}{2}}$，$y=\frac{{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}}{{L}_{1}^{\;}}{y}_{1}^{\;}=（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{4d{U}_{1}^{\;}}$
故电子到达屏S上时，它离O点的距离$y={y}_{1}^{\;}+{y}_{2}^{\;}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{4d{U}_{1}^{\;}}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）$
（4）由题2中的偏转量可知，加速电压U₁越小，偏转量越大，为保证电子能打到屏上，则加速电压最小时，电子刚好从上级板边缘飞出，即
${y}_{1}^{\;}=\frac{d}{2}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}$
可得${U}_{1}^{\;}=\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{2{d}_{\;}^{2}}$
即：加速电压取值范围为${U}_{1}^{\;}＞\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{2{d}_{\;}^{2}}$
答：（1）电子进入偏转电场的速度v₀是$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}^{\;}}{m}}$
（2）电子离开偏转电场时的偏转量y₁为$\frac{{U}_{1}^{\;}{L}_{1}^{2}}{4d{U}_{1}^{\;}}$
（3）电子到达屏S上时，它离O点的距离y是$\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{\;}}{4d{U}_{1}^{\;}}（{L}_{1}^{\;}+2{L}_{2}^{\;}）$
（4）如果加速场电压U₁可调，为保证电子能打在S屏上，电压U₁的取值范围${U}_{1}^{\;}＞\frac{{U}_{2}^{\;}{L}_{1}^{2}}{2{d}_{\;}^{2}}$

点评 本题考查带电粒子在电场中的偏转，解决本题的关键是搞清楚每一过程做的是什么运动，然后根据运动的合成与分解进行求解．在列式计算时应注意不要提前代入数值，应将公式简化后再计算，这样可以减少计算量．