Question

18．如图，可视为质点的小球，位于半径为$\sqrt{3}$m半圆柱体左端点A的正上方某处，以一定的初速度水平抛出小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于B点．过B点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60°．（不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s²
（1）求初速度为多少？
（2）小球从抛出到B点所用时间？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动速度与水平方向夹角的正切值等于位移与水平方向夹角正切值的2倍，求出竖直方向上的位移，从而求出竖直方向上的分速度，根据速度方向求出平抛运动的初速度．
（2）根据几何关系求出小球在竖直方向的位移，然后由自由落体运动的公式即可求出小球运动的时间．

解答 解：（1）飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，知速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有：tanθ=$\frac{tan30°}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
因为tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{y}{\frac{3}{2}R}$．
则竖直位移为：y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R，${v}_{y}^{2}$=2gy=$\frac{\sqrt{3}}{2}g$R
所以，tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$．
联立以上各式解得：v₀=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{2}×10×\sqrt{3}}$=3$\sqrt{5}$m/s
（2）由于小球在竖直位移为：y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R，而：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数据得：t=$\sqrt{\frac{3}{20}}$s=$\frac{\sqrt{15}}{10}$s
答：（1）初速度为$3\sqrt{5}$m/s；
（2）小球从抛出到B点所用时间是$\frac{\sqrt{15}}{10}$s．

点评 解决本题的关键掌握平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住速度方向，结合位移关系、速度关系进行求解．