Question

20．如图，宽为a的平行光束从空气射到平行玻璃砖的上表面，入射角为45°，光束中有两种单色光．玻璃对两种单色光的折射率为$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$．求：
（1）两种光通过玻璃砖的时间之比．
（2）要使光束从玻璃下表面出射时能分成不相交叠的两束光，玻璃砖的厚度至少多大？

Answer 1

分析 （1）已知入射角和折射率，根据折射定律求折射角．根据数学知识求出光在玻璃中传播的距离S，由v=$\frac{c}{n}$求得光在玻璃中传播的速度v，由t=$\frac{s}{v}$求解在玻璃中传播时间之比．
（2）玻璃对折射率大色光偏折角大，对折射率小的色光偏折角小，则当玻璃砖达到一定厚度后，两个波长的光在玻璃砖下表面会交叠，作出刚好不交叠时的光路图，由几何知识求出玻璃砖的最小厚度．

解答 解：由公式n=$\frac{sini}{sinγ}$
对单色光1得：sinγ₁=$\frac{sini}{{n}_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=0.5$…①
对单色光2得：sinγ₂=$\frac{sini}{{n}_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$…②
设玻璃板的厚度为d，单色光1在玻璃中通过的路程为：
 S₁=$\frac{d}{cos{γ}_{1}}=\frac{d}{\sqrt{1-si{n}^{2}{γ}_{1}}}=\frac{2d}{\sqrt{3}}$
单色光2在玻璃中通过的路程为：
 S₂=$\frac{d}{cos{γ}_{2}}=\frac{d}{\sqrt{1-si{n}^{2}{γ}_{2}}}=\sqrt{\frac{6}{5}}d$
传播速度为：v₁=$\frac{c}{{n}_{1}}=\frac{c}{\sqrt{2}}$
传播速度为：v₂=$\frac{c}{{n}_{2}}=\frac{c}{\sqrt{3}}$
两种波长的光通过玻璃所需时间之比为：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{{s}_{1}{v}_{2}}{{s}_{2}{v}_{1}}=\frac{\sqrt{60}}{9}$…③．
（2）当光束从玻璃板下表面出射时恰好能分成不交叠的两束时，玻璃砖的厚度为d，作出光路图如图．
根据几何知识得：$\sqrt{2}$a=dtanγ₁-dtanγ₂…④
由①得：γ₁=arcsin0.5，得tanγ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$…⑤
由②得：γ₂=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{6}$，得tanγ₂=$\frac{\sqrt{5}}{5}$…⑥
由④⑤⑥得，$d=\frac{\sqrt{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}}=\frac{10\sqrt{2}a}{5\sqrt{3}-2\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{6}-4\sqrt{10}}{11}a$
答：（1）这两种波长的光通过玻璃所需时间之比为$\frac{\sqrt{60}}{9}$．
（2）要使光束从玻璃下表面出射时能分成不相交叠的两束光，玻璃砖的厚度至少$\frac{10\sqrt{6}-4\sqrt{10}}{11}a$

点评 本题是几何光学问题，运用几何知识和折射定律结合进行求解，是几何光学问题常用的方法和思路．