Question

7．如图所示，宽为L=2m，足够长的金属导轨MN和M′N′放在倾角为θ=30°的斜面上，在N和N′之间连有一个1.6Ω的电阻R．在导轨上AA′处放置一根与导轨垂直、质量为m=0.8kg的金属滑杆，导轨和滑杆的电阻均不计．用轻绳通过定滑轮将电动小车与滑杆的中点相连，绳与滑杆的连线平行于斜面，开始时小车位于滑轮的正下方水平面上的P处（小车可视为质点），滑轮离小车的高度H=4.0m．在导轨的NN′和OO′所围的区域存在一个磁感应强度B=1.0T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场，此区域内滑杆和导轨间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此区域外导轨是光滑的（取g=10m/s²）．求：

（1）若电动小车沿PS以v=1.2m/s的速度匀速前进时，滑杆经d=1m的位移由AA′滑到OO′位置，通过电阻R的电量q为多少？
（2）若电动小车沿PS以v=1.2m/s的速度匀速前进时，滑杆通过OO′位置时的速度大小为多少？
（3）若滑杆运动到OO′位置时绳子突然断了，设导轨足够长，若滑杆沿导轨上滑速度减为零后继续下滑到AA′后恰好做匀速直线运动，求从断绳到滑杆回到AA′位置过程中，电阻R上产生的热量Q为多少？（保留2位小数）

Answer 1

分析 （1）金属棒从静止开始做匀加速直线运动，由位移公式可求出上滑的位移．由法拉第电磁感应定律求出感应电动势、由欧姆定律求出电流、由电流定义式的变形公式求出电荷量．
（2）由速度公式求出金属棒通过CC′时的速度大小v，此时感应电动势为E=BLv，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，然后由牛顿第二定律求出加速度．
（3）由平衡条件求出滑杆的速度，由能量守恒定律求出产生的热量．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{△t}$，感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，电荷量：q=I△t，
代入数据解得：q=1.25C；
（2）滑杆运动到OO′位置时，小车通过S点时的速度为v=1.0m/s
设系绳与水平面的夹角为α，则滑杆：$\frac{H}{sinα}$-H=d，sinα=0.8，α=53°，
此时向上的速度即绳端沿绳长方向的速度：v₁=vcosα=0.6m/s．
滑杆运动到OO’位置产生感应电动势E=BLv₁，产生感应电流I=$\frac{E}{R+r}$，
受到的安培力F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R+r}$，代入数据，可得：F_安=1.5N．
滑杆通过OO′位置时所受摩擦力为：f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N．
由牛顿第二定律得：F-mgsinθ-f-F_安=ma，
解得加速度：a=2m/s²．
（3）设滑杆返回运动到AA'位置后做匀速运动的速度为v₂，由平衡条件得：
mgsinθ=μmgcosθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$，
带入数据，可得：v₂=0.4m/s，
由能量守恒定律得：Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²+mgdsinθ-μmgdcosθ，
带入数据，可得Q=1.08J，Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q，
解得：Q_R=0.81J．
答：（1）通过电阻R的电量q为1.25C；
（2）滑杆通过OO′位置时的加速度大小为2m/s²；
（3）从断绳到滑杆回到AA′位置过程中，电阻R上产生的热量Q为0.81J．

点评 本题是一道电磁感应与力学、电学相结合的综合体，考查了求加速度、电阻产生的热量，分析清楚滑杆的运动过程，应用运动的合成与分解、E=BLv、欧姆定律、安培力公式、牛顿第二定律、平衡条件、能量守恒定律即可正确解题；求R产生的热量时要注意，系统产生的总热量为R与r产生的热量之和．