Question

16．当物体从高空下落时，空气对物体的阻力会随物体的速度增大而增大，因此，物体下落一段距离后将会匀速下落，这个速度被称为收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球半径及质量有关．如表是某次研究的实验数据：（重力加速度g取10m/s²）

小球	A	B	C	D	E
小球半径r（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2.0	2.5
小球质量m（×10-6kg）	2	5	45	40	100
小球收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

（1）试根据表中数据，求出B、C两球达到收尾速度时，所受的空气阻力比；
（2）试根据表中数据，归纳出球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r的关系式（写出表达式及比例系数）；
（3）将C、D两小球用轻绳连接，若它们在下落时所受空气阻力与单独下落时的规律相同，让它们同时从足够高处下落，试求出它们的收尾速度和此时细绳的拉力．

Answer 1

分析 当小球达到首尾速度时，重力等于阻力，根据重力的大小求出空气阻力之比．
根据表格中的数据归纳总结球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r的关系式．
抓住重力和阻力大小相等求出首尾的速度．根据阻力大小，隔离对D球分析，求出绳子的拉力大小．

解答 解：（1）达到收尾速度时f=mg，
所以f_B：f_C=1：9，
（2）由A、B得：f∝v，
由B、C得：f∝r²，
所以f=kvr²，代入一组数据得：k=5Ns/m³，所以f=5vr²．
（3）（m_C+m_D）g=kv（r_C²+r_D²），所以
v=$\frac{（{m}_{C}+{m}_{D}）g}{k（{{r}_{C}}^{2}+{{r}_{D}}^{2}）}$=$\frac{（45+40）×10-5}{5（1.52+22）×10-6}$m/s=27.2 m/s，
f_D=5×27.2×（2×10^-3）²=5.44×10^-4 N，f_C=5×27.2×（1.5×10^-3）²=3.06×10^-4 N，
对D球受力分析有：f_D=m_Dg+F，得F=1.44×10^-4 N．
答：（1）B、C两球达到收尾速度时，所受的空气阻力比为1：9．
（2）球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r的关系式为f=5vr²．
（3）首尾速度为27.2m/s，绳子拉力为1.44×10^-4 N

点评 本题考查收尾速度、小球半径以及阻力的关系，关键知道物体达到收尾速度时重力等于阻力，要学会应用控制变量法解题，还要学会分析数据．