Question

1．如图所示，固定在光滑水平面上的“L”形槽，槽的曲面部分光滑，水平部分粗糙．槽的水平部分长度d=9.5m，其上方有水平向右的匀强电场，场强E=10²N/C．不带电的物体B静止放置在槽的水平部分的最左端其质量 mB=1kg，在槽的水平部分的右边紧挨着放置了一个与它等高的足够长的木板C，其质量m_C=0.5kg．木板C的右边有竖直的挡板P，挡板P与C间的距离足够远．现将质量m_A=1kg，带正电的电量q=5×10^-2C，物体A从槽的曲面上距B的竖直高度为 h=3.2m处由静止释放，已知A、B与槽的水平部分及C的上表面的动摩擦因数μ均相等，μ=0.4．A与B，C与P的碰撞过程时间极短且碰撞过程中无机械能损失．A、B均可看作质点且A的电量始终保持不变，g取10m/s²．求：

（1）A与B第一次碰撞后B获得的速度；
（2）A与B第二次碰撞后B获得的速度；
（3）假设A与B完成第二次碰撞后的同时撤去电场，求出从C与P第一次碰撞后，木板C运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）A在光滑曲面上下滑过程，遵守机械能守恒，由机械能守恒定律求出A与B第一次碰撞前的速度．A、B碰撞过程，遵守动量守恒和机械能守恒，据两大守恒定律列式，求出碰后A、B的速度．
（2）A与B第一次碰撞后A做匀加速直线运动，B做匀减速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式求解A与B第二次碰撞前A的速度，再根据碰撞的规律求解B获得的速度．
（3）假设A与B完成第二次碰撞后的同时撤去电场，A将静止，此时B距C的左端距离为 l=d-x_B，由速度位移公式求出B刚滑上C的速度．由动量守恒定律求出B与C在第一次与挡板P碰前的共同速度，C与挡板碰撞后向左减速运动，运用数学归纳法分析C每次向左运动的最大距离，再求解总路程．

解答 解：（1）设m_A=m_B=m，
A在光滑曲面上下滑过程，由机械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
可得A与B第一次碰撞前的速度为：v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×3.2}$m/s=8m/s，
A、B碰撞过程，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒得：
  mv=mv_A+mv_B
 $\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得A与B第一次碰撞后A的速度为：v_A=0，v_B=8m/s；

（2）A与B第一次碰撞后A做匀加速直线运动，加速度大小为：a₁=$\frac{qE-μmg}{m}$=$\frac{5×1{0}^{-2}×1{0}^{2}-0.4×1×10}{1}$=1m/s²；
B做匀减速直线运动，加速度大小为：a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²；
B的速度减到零所需的时间为：t_B=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}$=$\frac{8}{4}$s=2s，
位移为为：x_B=$\frac{{v}_{B}t}{2}$=$\frac{8×2}{2}$m=8m
而A做匀加速直线运动2s发生的位移为为：
 x_A=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{2}^{2}$m=2m＜x_B=8m
所以当B的速度减到零以后才发生第二次碰撞，第二次碰撞前A的速度为为：v_A′=$\sqrt{2{a}_{1}{x}_{B}}$=$\sqrt{2×1×8}$m/s=4m/s
由动量守恒定律和碰撞过程能量守恒可得：A与B第二次碰撞后B获得的速度为：v_B′=4m/s；

（3）假设A与B完成第二次碰撞后的同时撤去电场，A将静止，此时B距C的左端距离为：l=d-x_B=9.5m-8m=1.5m
则B刚滑上C的上表面时的速度为：v_B″=$\sqrt{{v}_{B}^{′2}-2{a}_{2}l}$=$\sqrt{{4}^{2}-2×4×1.5}$m/s=2m/s
B与C在第一次与挡板P碰前的共同速度为：v₀=$\frac{{m}_{B}{v}_{B}″}{{m}_{B}+{m}_{c}}$=$\frac{1×2}{1+0.5}$=$\frac{4}{3}$m/s
设木板C每次与P相碰后向左运动的最大距离分别为 s₁、s₂、s₃…，第一次相碰后对C：
根据动能定理有：-μm_Bs₁=0-$\frac{1}{2}{m}_{C}{v}_{0}^{2}$
解得：s₁=$\frac{{m}_{C}{v}_{0}^{2}}{2μ{m}_{B}g}$=$\frac{0.5×（\frac{4}{3}）^{2}}{2×0.4×1×10}$m=$\frac{1}{9}$m，
第一次碰，设B与C获得的共同速度为 v₁，取水平向右为正方向，根据系统的动量守恒得：
（m_B-m_C）v₀=（m_B+m_C）v₁
解得：v₁=$\frac{（{m}_{B}-{m}_{C}）{v}_{0}}{{m}_{B}+{m}_{C}}$
第二碰后，对C，由动能定理有：-μmgs₂=0-$\frac{1}{2}{m}_{C}{v}_{1}^{2}$
解得：s₂=$\frac{{m}_{C}{v}_{1}^{2}}{2μ{m}_{B}g}$=$（\frac{{m}_{B}-{m}_{C}}{{m}_{B}+{m}_{C}}）^{2}$s₁；
同理可得：s₃=$（\frac{{m}_{B-}{m}_{C}}{{m}_{B}+{m}_{C}}）^{4}{s}_{1}$；
  …
所以，C与P相碰反弹后向左运动的最大距离均以q=$（\frac{{m}_{B}-{m}_{C}}{{m}_{B}+{m}_{C}}）^{2}$=$\frac{1}{9}$的比例减小，C与P发生多次碰撞，所走的路程是一个无穷等比数列的和，公比为q，又C每次碰撞向左行的路程与向右行的路程相等，故C与P第一次碰撞后，木板C运动的总路程为：
s=2s₁（1+q+q²+…）=$\frac{2{s}_{1}}{1-q}$=$\frac{2×\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}$m=0.25m．
答：（1）A与B第一次碰撞后B获得的速度是8m/s；
（2）A与B第二次碰撞后B获得的速度是4m/s；
（3）假设A与B完成第二次碰撞后的同时撤去电场，从C与P第一次碰撞后，木板C运动的总路程是0.25m．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、运动学基本公式、动量守恒定律的应用，并能运用数学归纳法和数列求和知识解题．