Question

4．在竖直平面内有一矩形区域ABCD，AB边长L，AD边长2L，F为AD边中点，G为BC边中点，线段FG将ABCD分成两个场区．如图所示，场区Ⅰ内有一竖直向下的匀强电场，场区Ⅱ内有方向大小未知的匀强电场（图中未画出）和方向垂直ABCD平面内的匀强磁场，一个质量为m，电量为+q的带电小球以平行于BC边的速度v从AB边的中点P进入场区Ⅰ，从FG边飞出场区Ⅰ时速度方向改变了37°，小球进入场区Ⅱ做匀速圆周运动，求：
（1）场区Ⅱ中的电场强度E₂大小及方向；
（2）场区Ⅰ中的电场强度E₁的大小；
（3）要使小球能在场区Ⅱ内从FG边重新回到场区Ⅰ的磁感应强度B的最小值．

Answer 1

分析 （1）小球在区域Ⅱ做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，洛仑兹力提供向心力，根据平衡条件列式求解；
（2）在区域Ⅰ中，球受重力和向下的电场力，做类似平抛运动，根据分运动公式和牛顿第二定律列式求解；
（3）在区域Ⅱ中，小球做匀速圆周运动，磁感应强度越小，轨道半径越大，临界情况是轨迹与EG相切，画出运动轨迹，结合几何关系得到轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解最小磁感应强度大小．

解答 解：（1）在区域Ⅱ做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，洛仑兹力提供向心力，故：
qE₂=mg
解得：
E₂=$\frac{mg}{q}$ 方向竖直向上；
（2）类似平抛运动的时间t=$\frac{L}{v}$，
速度偏转角为37°，故tan37°=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{at}{v}$，
联立解得：a=$\frac{3{v}^{2}}{4L}$；
根据第二定律，有：qE₁+mg=ma，
联立解得：${E_1}=\frac{{\frac{{3m{v^2}}}{4L}-mg}}{q}$
（3）画出小球的运动的临界轨迹，如图所示：

对类平抛运动过程，有：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{3}{8}L$，
结合几何关系，有：R+Rcos37°=$\frac{L}{2}+\frac{3}{8}L$，故R=$\frac{35}{72}L$；
场区Ⅱ时小球速度v′=$\frac{5}{4}v$；
根据牛顿第二定律，有：$Bqv′=m\frac{v{′}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv′}{Bq}$，
故B=$\frac{18mv}{7qL}$；
答：（1）场区Ⅱ中的电场强度E₂大小为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向上；
（2）场区Ⅰ中的电场强度E₁的大小为$\frac{\frac{3m{v}^{2}}{4L}-mg}{q}$；
（3）要使小球能在场区Ⅱ内从FG边重新回到场区Ⅰ的磁感应强度B的最小值为$\frac{18mv}{7qL}$．

点评 本题关键是明确小球先做类似平抛运动，后做匀速圆周运动，根据分运动公式和牛顿第二定律列式，同时要画出轨迹进行分析．