Question

15．如图所示，ABCDEF是一边长为L的正六边形盒，各边均为绝缘板，盒外有方向垂直纸面向里、范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B．盒内有两个与AF边平行的金属板M、N，且金属板N靠近盒子的中心O点，金属板M和盒子AF边的中点均开有小孔，两小孔与O点在同一直线上．现在O点由静止放置一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子重力及空气阻力，忽略运动电荷对外加磁场、电场的影响）．
（1）如果在金属板N、M间加上电压U_NM=U₀时，粒子从AF边小孔射出后直接打在A点，试求电压U₀的大小； 
（2）如果给金属板N，M间加一合适的电压，粒子从AF边小孔射出后恰好能以最短时间回到该小孔（粒子打在盒子各边时都不损失动能），试求粒子运动的最短时间； 
（3）如果改变金属板N、M间所加电压，试判断粒子从AF边小孔射出后能否直接打在C点？若不能，说明理由；若能，请求出此时电压U_NM的大小．

Answer 1

分析 （1）由几何关系与牛顿第二定律：洛伦兹力提供向心力，及动能定理，即可求解；
（2）根据粒子做匀速圆周运动的周期公式，得知周期与速度大小无关，则最短时间与周期及圆心角有关．
（3）由几何关系，可求出半径大小，再由洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律与动能定理，从而求出结果；

解答 解：（1）依题意，R=$\frac{L}{4}$，
由qvB=m $\frac{{v}^{2}}{R}$，
及qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得U₀=$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$
（2）由于粒子在磁场中运动周期T=$\frac{2πm}{qB}$，T与速率无关；粒子撞击BC中点和DE中点后回到G，
用时最短圆周半径R″=$\frac{3}{2}$L，
得到最短时间t=$\frac{300°}{360°}•T×3=\frac{5πm}{qB}$．
（3）设AF中点为G，连接GC，作其垂直平分线，与AF延长线交点即为圆心
由相似三角形得R′=O′G=$\frac{13L}{4}$，
由牛顿第二定律，qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R′}$，
qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：U_NM=$\frac{169q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$
答：（1）如果在金属板N、M间加上电压U_NM=U₀时，粒子从AF边小孔射出后直接打在A点，则电压U₀的大小$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$．
（2）如果给金属板N、M间加一合适的电压，粒子从AF边小孔射出后恰好能以最短时间回到该小孔，则最短时间为 $\frac{5πm}{qB}$．
（3）如果改变金属板N、M间所加电压，试判断粒子从AF边小孔射出后能否直接打在C点．若不能，说明理由；若能，此时电压U_NM的大小 $\frac{169q{B}^{2}{L}^{2}}{32m}$．

点评 本题运用几何关系与物理规律相结合来解题，要学生掌握这类题型的答题方法与技巧，因此根据题意结合知识，画出正确的运动轨迹图是关键之处．最后运动的时间长短与速度的大小无关，却与圆心角的大小有关．