Question

15．一滑雪坡由AB和BC组成，AB是斜坡，BC是半径为R=4m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图所示，AC竖直高度差h_l=9.8m，竖直台阶CD高度差为h₂=5m，台阶底端与倾角为37°的足够长斜坡DE相连．运动员连同滑雪装备总质量为80kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落到DE上．不计空气阻力和轨道的摩擦阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）运动员到达C点的速度大小；
（2）运动员经过C点时轨道受到的压力大小；
（3）运动员在空中飞行的时间．

Answer 1

分析 （1）运动员从A→C的过程中，不计摩擦阻力，只有重力做功，机械能守恒，则可由机械能守恒定律求出运动员到达C点的速度大小．
（2）运动员经过C点时，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道的支持力，再由牛顿第三定律得到运动员对轨道的压力．
（3）通过C点后飞落到DE上的过程做平抛运动，运用运动的分解法分别得到水平位移与竖直位移与时间的关系，由几何知识得到两个位移之间的关系，联立求解时间．

解答 解：（1）运动员从A→C过程，由机械能守恒定律得：
  mgh_l=$\frac{1}{2}$mv_C²     
解得：运动员到达C点的速度大小 v_C=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×9.8}$=14m/s                   
（2）在C点，由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律有：
  F_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                 
解得：运动员经过C点时 F_C=4720N                            
由牛顿第三定律知：轨道受到的压力大小为4720N              
（3）设在空中飞行时间为t，做平抛运动，则有：
   y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Ct
又由数学知识有：tan37°=$\frac{y-{h}_{2}}{x}$
解得：运动员在空中飞行的时间t=2.5s                         
答：
（1）运动员到达C点的速度大小是14m/s；
（2）运动员经过C点时轨道受到的压力大小是4720N；
（3）运动员在空中飞行的时间是2.5s．

点评 本题涉及两个运动过程，采用程序法分析和处理，机械能守恒、向心力与平抛运动的综合应用，分析向心力的来源和平抛运动的两个分位移的关系是关键．