Question

18．如图所示，光滑的水平轨道AB，与半径为R的光滑的半圆形轨道相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点．为使一质量为m的小球以初速度V₀沿AB运动，恰能通过最高点，则（　　）

• A． R越大，V₀越大
• B． R越大，小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大
• C． m越大，V₀越大
• D． m与R同时增大，初动能E_k0增大

Answer 1

分析 小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经最高点时的速度，根据机械能守恒求出初速度v₀与半径R的关系．小球经过B点后的瞬间由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿运动定律研究小球对轨道的压力与半径的关系．根据机械能守恒列式研究初动能与m、R的关系．

解答 解：
AC、小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，v_D=$\sqrt{gR}$；
根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$+2mgR，得到 v₀=$\sqrt{5gR}$，可见，R越大，v₀越大，而且v₀与小球的质量m无关．故A正确、C错误．
B、小球经过B点后的瞬间，由牛顿第二定律得 N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，解得到轨道对小球的支持力 N=6mg，则N与R无关，则由牛顿第三定律知小球经过B点后瞬间对轨道的压力与R无关．故B错误．
D、初动能 E_k0=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{5}{2}mgR$，知m与R同时增大，初动能E_k0增大，故D正确．
故选：AD．

点评 机械能守恒与向心力知识综合是常见的题型．小球恰好通过最高点时速度与轻绳模型类似，轨道对小球恰好没有作用力，由重力提供向心力，临界速度v=$\sqrt{gR}$，做选择题时可直接运用．