Question

4．如图所示，一段长方体金属导电材料，厚度为a、高度为b、长度为l，内有带电量为e的自由电子．该导电材料放在垂直于前后表面的匀强磁场中，内部磁感应强度为B．当有大小为I的稳恒电流垂直于磁场方向通过导电材料时，在导电材料的上下表面间产生一个恒定的电势差U．求解以下问题：
（a）分析并比较上下表面电势的高低；
（b）该导电材料单位体积内的自由电子数量n．
（c）经典物理学认为金属导体中恒定电场形成稳恒电流，而金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．设某种金属中单位体积内的自由电子数量为n，自由电子的质量为m，带电量为e，自由电子连续两次碰撞的时间间隔的平均值为t．试这种金属的电阻率．

Answer 1

分析 （1）由左手定则分析电子的移动方向，从而得出两板间的电势高低；
（2）根据电子受力平衡时受到的洛仑兹力与电场力相等，联立电流的微观表达式可求得个数；
（3）电子在电场的作用下做定向运动，同时由于受到碰撞而减速，根据运动学公式可明确平均速度，再由电流的微观表达及欧姆定律可求得电阻率．

解答 解：
（1）由左手定则可知，自由电子受力向上；故转移到上表面，下表面带正电，故下表面的电势高；  
（2）电子受洛仑兹力f=Bev①
板间的场强$E=\frac{U}{b}$②
电子受到的电场力
F=Ee③F=f④
由电流的微观定义可知：I=neabv⑤
联立①②③④⑤$n=\frac{IB}{eaU}$
（3）设金属导电材料内的匀强电场强度为E
电子定向移动的加速度为$a=\frac{eE}{m}$
经过时间t获得的定向移动速度为$v=at=\frac{eEt}{m}$
在时间t内的平均速度为$\overline{v}$=$\frac{1}{2}$v=$\frac{eEt}{2m}$
电流为I=nes$\overline{v}$=$\frac{n{e}^{2}SEt}{2m}$
欧姆定律$I=\frac{El}{R}=\frac{El}{{ρ\frac{l}{S}}}=\frac{ES}{ρ}$
得$ρ=\frac{2m}{{n{e^2}t}}$
答：（1）下极板电势高；（2）导电材料单位体积内的自由电子数量n为$\frac{BI}{eaU}$；（3）这种金属的电阻率为$\frac{2m}{n{e}^{2}t}$．

点评 本题考查电流的形成原因及霍尔效应，要注意能分析物理情况，联立所学物理规律准确的描述电流的微观意义．