Question

5．如图所示，“∠”形挡板ABC夹角θ为60°且BC板水平，AB板上有一个小孔D，BD间的距离为b，一水平放置的平行板电容器板间距离为d，板长L=$\sqrt{3}$d，下板的右端紧靠D孔．现有质量为m，电荷量为+q的粒子组成的粒子束，以速度v₀从电容器的中央水平射入匀强电场，并恰好射入D孔（不计粒子所受的重力）．
（1）求在D点射出电场时粒子的速度；
（2）如果在AB和BC两板所夹的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，要使从小孔D飞入的这些粒子打不到BC板，求磁场的磁感应强度B₁的最小值；
（3）如果在AB和BC两挡板间，只有一部分区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场．要使从小孔D飞入的这些粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板BC上（之前与挡板没有碰撞），求磁场的感应强度B₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，根据类平抛运动知识求粒子离开电场时的速度；
（2）要使粒子不打在BC板上，根据几何关系知粒子运动轨迹与BC板相切，由几何关系求出粒子相切时的轨道半径，再根据半径公式求得满足条件的磁场最小值；
（3）粒子从射入电场后做从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板BC板上，根据几何关系作出粒子可能的运动轨迹，再根据临界条件求出满足条件的半径的临界值，根据半径公式求得磁场的最小值即可．

解答 解：（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，得

$\sqrt{3}d={v}_{0}t$      ①
$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$        ②
v_y=at     ③
设速度偏向角为α，则有：
$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以α=30°
所以$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，方向与AB板垂直．
（2）如图所示，进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子不打到挡板BC，则粒子的圆周轨道恰与BC板相切．

根据几何关系得：（r₁+b）sin60°=r₁      ④
由轨道半径公式有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$      ⑤
代入$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$，由④⑤两式得：
B₁的最小值为B_1min=$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$
（3）如图所示，

粒子从D点入射后做匀速直线运动从D点开始进入磁场，粒子在进入磁场后，根据左手定则，所受的洛伦兹力斜向上，要使粒子能垂直打到水平挡板BC，则粒子需偏转300°后从E射出，做匀速直线运动垂直打到BC．
粒子作圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，即
Bqv=$m\frac{{v}^{2}}{r}$       ⑥
可得B=$\frac{mv}{qr}$        ⑦
要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，如图所示，根据对称性圆周运动的圆心O、交点G位于∠ABC的角平分线上，则由几何关系可得：
CDD′F是边长为r的正方形．则在三角形BOF中，由几何知识得：
$\frac{r}{tan30°}=a+r$
解得：$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$
将$v=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$和$r=\frac{a}{\sqrt{3}-1}$代入⑦可得，B_2min=$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$
答：（1）在D点射出电场时粒子的速度为$\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$；
（2）如果在AB和BC两板所夹的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，要使从小孔D飞入的这些粒子打不到BC板，磁场的磁感应强度B₁的最小值为$\frac{2（2-\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3bq}$；
（3）如果在AB和BC两挡板间，只有一部分区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场．要使从小孔D飞入的这些粒子经过磁场偏转后能垂直打到水平挡板BC上（之前与挡板没有碰撞），磁场的感应强度B₂的最小值为$\frac{（6-2\sqrt{3}）m{v}_{0}}{3qa}$．

点评 本题主要考查了平抛运动、圆周运动的基本公式的应用，要使B最小，则要半径r最大，临界情况是圆周运动的轨迹恰好跟两挡板相切，要求同学们能结合几何关系求解，难度较大．